Soluzioni
  • Un'omotetia è una trasformazione geometrica piana. Per definirla fissiamo un punto O (detto centro di omotetia) ed un numero reale non nullo c (chiamato rapporto di omotetia).

    Diremo che il punto P' è il corrispondente o l'immagine del punto P nell'omotetia di centro O e rapporto c se:

    1) il punto P' giace sulla retta per i punti P ed O, ovvero i tre punti P, P' ed O sono allineati;

    2) il rapporto tra le misure dei segmenti OP' ed OP è uguale a |c|; in formule:

    \frac{OP'}{OP}=|c|.

     

    Fissiamo l'attenzione sul punto 1). Una volta tracciata la retta per i punti P ed O, il punto P' tale che il rapporto tra le misure dei segmenti OP' ed OP sia uguale a |c| può essere individuato in due modi:

    - può essere scelto in modo tale che il punto O appartenga al segmento PP'

    - può essere preso in modo tale che il punto O sia esterno al segmento PP'

     

    Per capirci, prendiamo ad esempio il punto O ed il punto P come mostrato in figura; supponiamo che il segmento OP misuri 3 cm e che il rapporto di omotetia sia tale che:

    \frac{OP'}{OP}=2, \ \mbox{da cui} \ OP'=2 \cdot OP = 6 \ \mbox{cm}

    Come puoi vedere abbiamo due punti (quello rosso e quelle verde) che soddisfano la richiesta.

    L'unica differenza è che se scegliamo il punto rosso come immagine omotetica del punto P il punto O è esterno al segmento PP', mentre se scegliamo il punto verde, il punto O sarà un punto del segmento PP'.

     

    Rapporto di omotetia

     

    Per distinguere le due situazioni e fare una scelta univoca si assegna un segno al rapporto di omotetia. Nello specifico:

    se c è positivo l'immagine omotetica P' del punto P sarà tale che il punto O sia esterno al segmento PP' e si parlerà in questo caso di omotetia diretta;

    se c è negativo si sceglie P' in modo tale che O appartenga al segmento PP' e l'omotetia si dirà omotetia inversa.

     

    Nell'esempio precedente: se il rapporto di omotetia fosse stato -2 avremmo scelto il punto P' verde come immagine omotetica del punto P; se c=2 la scelta sarebbe ricaduta sul punto P' rosso.

    Per intenderci dello stesso punto P rispetto al centro O possiamo avere due immagini omotetiche. La scelta dell'una o dell'altra dipenderà dal segno del rapporto di omotetia:

     

    Omotetia

     

    Tutto questo spiega anche la presenza del valore assoluto nel punto 2) della definizione. Giacché il rapporto tra la misura di due segmenti non può essere negativo ma il rapporto di omotetia può esserlo, per non creare spiacevoli equivoci ho preferito metterci un valore assoluto ;)

     

    Inoltre se il punto P' è l'immagine omotetica del punto P tramite un'omotetia di rapporto c, cioè vale:

    \frac{OP'}{OP}=|c|

    allora il punto P è l'omotetico del punto P' tramite un'omotetia avente stesso centro O ma con rapporto 1/|c|, in quanto dalla relazione precedente si ha:

    \frac{OP}{OP'}=\frac{1}{|c|}

     

    Capito questo possiamo parlare di omotetia tra figure.

    Una figura F' si dice immagine omotetica della figura F in una omotetia di centro O e rapporto c se la figura F' è l'insieme delle immagini dei punti di F.

    A titolo di esempio prendiamo un triangolo ABC e, fissato il centro O dell'omotetia, ricaviamone l'immagine omotetica prima con rapporto c=-3/2:

     

    Omotetia con rapporto negativo

     

    e poi con rapporto omotetico c=3/2

     

    omotetia con rapporto positivo

     

    Nel primo caso, essendo il rapporto di omotetia un numero negativo, le immagini omotetiche A', B' e C' dei tre vertici del triangolo sono state scelte in modo tale che il centro dell'omotetia appartenga ai segmenti che uniscono ogni vertice con la sua immagine, mentre, nel secondo caso, il centro dell'omotetia non appartiene a tali segmenti, sebbene, in entrambi i casi, il rapporto tra la misura dei segmenti OA' ed OA, OB' ed OB, OC' ed OC sia sempre 3/2.

     

    Concludiamo con qualche piccola osservazione:

    - l'omotetia, come avrai potuto vedere, in generale non è un'isometria in quanto non mantiene fisse le distanze;

    - se il rapporto di omotetia è uguale a 1 (c=1) allora ogni punto coincide con la sua immagine omotetica;

    - se il rapporto di omotetia è uguale a -1 l'omotetia altro non è se non una simmetria centrale;

    - l'unico punto unito in una omotetia è il centro O;

    - tutte le rette passanti per O sono rette unite.

     

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    Risposta di Omega
 
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