Soluzioni
  • Un'omotetia è una trasformazione geometrica, definita sia nel piano che nello spazio, che mantiene invariati gli angoli ma non le distanze. Intuitivamente un'omotetia dilata o contrae gli oggetti mantenendone invariata la forma.

    Per dare la definizione di omotetia e capire la differenza tra omotetia diretta e inversa dobbiamo fissare un punto O del piano o dello spazio, detto centro di omotetia, e un numero reale e non nullo k, che prende il nome di rapporto di omotetia.

    Si dice omotetia di centro O e rapporto k la trasformazione geometrica che a un qualsiasi punto P distinto da O associa il punto P' tale che:

    1) P' appartenga alla retta condotta per i punti P e O, ossia i punti P, \ P', \ O siano allineati;

    2) il rapporto tra le misure dei segmenti OP' e OP sia uguale al valore assoluto di k; in formule:

    \frac{\overline{OP'}}{\overline{OP}}=|k|

    Omotetia diretta e omotetia inversa

    Concentriamo la nostra attenzione sul punto 1) della precedente definizione.

    Una volta tracciata la retta per i punti P e O, il punto P' tale che il rapporto tra le misure dei segmenti OP' e OP sia uguale a |k| può essere individuato in due modi:

    - può essere scelto in modo tale che il punto O appartenga al segmento PP'

    - può essere preso in modo tale che il punto O sia esterno al segmento PP'

    Per intenderci, disegniamo un punto O e un punto P distinto da O.

    Supponiamo che il segmento OP misuri 3 cm e che il rapporto di omotetia sia tale che:

    \frac{\overline{OP'}}{\overline{OP}}=2, \mbox{ da cui } \overline{OP'}=2 \cdot \overline{OP} = 2 \cdot (3 \mbox{ cm}) = 6 \ \mbox{cm}

    Come possiamo osservare nella seguente immagine, esistono due punti distinti che soddisfano la richiesta e che abbiamo evidenziato in rosso e in verde.

     

    Omotetia

     

    L'unica differenza è che se come immagine omotetica del punto P scegliamo il punto P' in rosso, allora il centro di omotetia O è esterno al segmento PP', mentre se scegliamo il punto P' in verde, O è un punto del segmento PP'.

    Per distinguere le due situazioni e fare una scelta univoca dell'immagine omotetica si assegna un segno al rapporto di omotetia k. In particolare:

    - se k è positivo (k>0), l'immagine omotetica P' del punto P va scelta in modo tale che il centro di omotetia O sia esterno al segmento PP' e si parlerà in questo caso di omotetia diretta;

    - se k è negativo (k<0) si sceglie P' facendo in modo che O appartenga al segmento PP' e l'omotetia si dirà omotetia inversa o omotetia indiretta.

    Nel precedente esempio, se il rapporto di omotetia fosse stato k=-2 avremmo scelto il punto P' di colore verde, mentre se fosse stato k=2 la scelta sarebbe dovuta ricadere sul punto P' in rosso.

    In definitiva, un punto P può avere due immagini omotetiche di centro O. La scelta dell'una o dell'altra dipende dal segno del rapporto k.

     

    Omotetia diretta e omotetia inversa

     

    Tutto questo spiega anche la presenza del valore assoluto nel punto 2) della definizione di omotetia. Visto che il rapporto di omotetia k può essere negativo, ma il rapporto tra le misure di due segmenti è necessariamente positivo, nel definire l'omotetia è necessario considerare il valore assoluto di k.

    Omotetia tra figure

    Una figura geometrica F' si dice immagine omotetica della figura F, in un'omotetia di centro O e rapporto k, se la figura F' è l'insieme delle immagini omotetiche dei punti di F.

    A titolo di esempio, fissiamo il centro di omotetia O e ricaviamo l'immagine omotetica di un triangolo di vertici A, \ B, \ C dapprima con rapporto k=\frac{3}{2} (omotetia diretta)

     

    Esempio di omotetia diretta

    Esempio di omotetia diretta tra figure.

     

    e poi con rapporto omotetico k=-\frac{3}{2} (omotetia inversa)

     

    Esempio di omotetia inversa

    Esempio di omotetia inversa tra figure.

     

    Nel primo caso il rapporto di omotetia è un numero positivo, quindi l'omotetia è diretta e le immagini A' \ , B', \ C' dei vertici del triangolo sono state scelte in modo tale che il centro di omotetia non appartenga ai segmenti che uniscono ogni vertice con la sua immagine.

    Nel secondo caso il rapporto di omotetia è negativo, dunque l'omotetia è inversa e le immagini dei vertici del triangolo iniziale sono state scelte in modo tale che il centro di omotetia appartenga ai segmenti che congiungono ciascun vertice con la propria immagine.

    In entrambi i casi il rapporto tra le misure dei segmenti OA' \mbox{ e } OA, \ OB' \mbox{ e } OB, \ OC' \mbox{ e } OC è sempre pari a |k|=\frac{3}{2}

    Proprietà dell'omotetia

    1) In generale un'omotetia non è un'isometria, ma diventa tale se |k|=1. In particolare:

    - se il rapporto di omotetia è uguale a 1 (k=1), allora ogni punto coincide con la sua immagine omotetica e l'omotetia coincide con la trasformazione geometrica identica;

    - se il rapporto di omotetia è uguale a -1 (k=-1), l'omotetia è una simmetria centrale.

    2) Un'omotetia è una particolare similitudine ed è detta dilatazione se |k|>1, contrazione se |k|<1.

    3) Se il rapporto di omotetia è diverso da 1 (k \neq 1), il centro di omotetia è l'unico punto unito, mentre se k=1 tutti i punti sono uniti.

    4) Tutte le rette passanti per il centro di omotetia sono rette unite.

    5) Se il punto P' è l'immagine di P in un'omotetia di centro O e rapporto k, allora P è l'immagine di P' in un'omotetia avente stesso centro O ma rapporto uguale a \frac{1}{k}.

    6) Se F e F' sono due forme geometriche piane o solide che si corrispondono in un'omotetia di rapporto k, allora il rapporto delle loro aree è uguale a k^2 e il rapporto dei loro volumi è pari a k^3.

    ***

    La parte che segue è dedicata a chi ha già affrontato lo studio della Geometria Analitica. Tutti gli altri possono fermarsi qui con la lettura e, in caso di necessità, possono fare un ripasso delle varie trasformazioni geometriche piane consultando la lezione del link.

    Formule dell'omotetia nel piano cartesiano

    Sia C(x_C, \ y_C) un punto qualsiasi del piano cartesiano. Le formule che descrivono un'omotetia di centro C e rapporto k\neq 0 sono le seguenti:

    \begin{cases}x'=k\left(x-x_C\right)+x_C \\ \\ y'=k\left(y-y_C\right)+y_C \end{cases}

    Esempio

    Determinare l'equazione dell'immagine omotetica della circonferenza di equazione

    x^2+y^2-6x-4y+9=0

    rispetto a un'omotetia di centro C(8,2) e rapporto k=2.

    Svolgimento: scriviamoci le formule dell'omotetia

    \begin{cases}x'=k\left(x-x_C\right)+x_C \\ \\ y'=k\left(y-y_C\right)+y_C \end{cases}

    e sostituiamo k con 2, e x_C e y_C con le coordinate cartesiane del punto C(8,2)

    \\ \begin{cases}x'=2(x-8)+8 \\ \\ y'=2(y-2)+2 \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}x'=2x-8 \\ \\ y'=2y-2 \end{cases}

    Ricaviamo x e y in funzione di x' e y'

    \begin{cases}x=\dfrac{x'+8}{2} \\ \\ y=\dfrac{y'+2}{2}\end{cases}

    e sostituiamoli nell'equazione della circonferenza

    x^2+y^2-6x-4y+9=0

    ottenendo la seguente relazione

    \left(\frac{x'+8}{2}\right)^2 + \left(\frac{y'+2}{2}\right)^2 - 6 \left(\frac{x'+8}{2}\right) -4 \left(\frac{y'+2}{2}\right) + 9 = 0

    Tralasciamo gli apici e svolgiamo i conti

    \\ \left(\frac{x+8}{2}\right)^2 + \left(\frac{y+2}{2}\right)^2 - 6 \left(\frac{x+8}{2}\right) -4 \left(\frac{y+2}{2}\right) + 9 = 0 \\ \\ \\ \frac{x^2+16x+64}{4} + \frac{y^2+4y+4}{4} - 3 (x+8) - 2 (y+2) + 9 = 0 \\ \\ \\ x^2+16x+64+y^2+4y+4-12(x+8)-8(y+2)+36=0 \\ \\ \\ x^2+16x+64+y^2+4y+4-12x-96-8y-16+36=0 \\ \\ \\ x^2+y^2+4x-4y-8=0

    Possiamo concludere che

    x^2+y^2+4x-4y-8=0

    è l'equazione della circonferenza cercata.

    ***

    Nella lezione sui cambiamenti di coordinate trovate un elenco con le formule delle principali trasformazioni geometriche piane.

    Formule dell'omotetia nello spazio euclideo a tre dimensioni

    Nello spazio euclideo tridimensionale standard, le formule dell'omotetia di centro C(x_C, y_C, z_C) e rapporto k sono le seguenti

    \begin{cases}x'=k\left(x-x_C\right)+x_C \\ \\ y'=k\left(y-y_C\right)+y_C \\ \\ z'=k\left(z-z_C\right)+z_C \end{cases}

    Esempio

    Calcolare l'immagine del punto P(2,-7,4) in un'omotetia di centro C(1,5,9) e rapporto k=-3.

    Svolgimento: nelle formule elencate in precedenza sostituiamo

    x, \ y, \ z con le coordinate cartesiane del punto P(2,-7,4),

    x_C, \ y_C, \ z_C con le coordinate del centro di omotetia C(1,5,9)

    k con -3.

    \begin{cases}x'=-3 \cdot \left(2-1\right)+1 \\ \\ y'=-3 \cdot \left(-7-5\right)+5 \\ \\ z'=-3 \cdot \left(4-9\right)+9 \end{cases}

    Svolgendo i conti si ottengono le coordinate cartesiane del punto P' immagine omotetica di P(2,-7,4)

    \begin{cases}x'=-3 \cdot 1+1 = -3+1=-2 \\ \\ y'=-3 \cdot \left(-12\right)+5 = 36+5=41 \\ \\ z'=-3 \cdot \left(-5\right)+9=15+9=24 \end{cases}

    Ossia P'(-2,41,24)

    ***

    È tutto! Per qualsiasi dubbio potete usare la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
 
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