Soluzioni
  • In una trasformazione geometrica prende il nome di retta unita una qualsiasi retta del piano o dello spazio che coincide con la sua trasformata.

    In termini più rigorosi, se f è una trasformazione geometrica, una qualsiasi retta r è una retta unita se e solo se l'immagine f(r) coincide con r.

    r \mbox{ retta unita per la trasformazione } f \iff f(r)=r

    Rette unite nelle principali trasformazioni geometriche

    Nella seguente tabella abbiamo elencato le principali trasformazioni geometriche, sia nel piano che nello spazio, specificando se e quali rette sono rette unite.

    Per leggere la definizione e le proprietà di ciascuna trasformazione vi rimandiamo alle pagine ad esse dedicate.

     

    Trasformazioni geometriche

    Rette unite

    Traslazione

    Rette parallele al vettore che definisce la traslazione

    Rotazione nel piano

    Non ha rette unite

    Rotazione nello spazio

    Asse di rotazione

    Rototraslazione

    Non ha rette unite

    Omotetia

    Tutte le rette passanti per il centro di omotetia

    Simmetria centrale

    Tutte le rette passanti per il centro di simmetria

    Simmetria assiale

    Asse di simmetria e tutte le rette perpendicolari all'asse di simmetria

    Simmetria radiale nel piano

    Non ha rette unite

    Simmetria radiale nello spazio

    Asse di simmetria radiale

    Simmetria rispetto a un piano

    Tutte le rette appartenenti al piano di simmetria

     

    Per quanto concerne il numero di rette unite di una trasformazione geometrica, stando a quanto riportato in tabella possiamo osservare che:

    - rotazione nel piano, rototraslazione e simmetria radiale sono esempi di trasformazioni geometriche che non hanno rette unite.

    - Rotazione nello spazio e simmetria radiale nello spazio sono trasformazioni con una sola retta unita.

    - Traslazione, omotetia, simmetria centrale, simmetria assiale e simmetria rispetto a un piano sono tutti esempi di trasformazioni geometriche con infinite rette unite.

    Rette unite e punti uniti

    Oltre alle rette, altri elementi che possono essere trasformati in loro stessi sono i punti. In particolare, se f è una trasformazione geometrica e P è un punto del piano o dello spazio tale che f(P)=P allora P è un punto unito per la trasformazione.

    Per fissare le idee pensate a una simmetria centrale, definita da un centro di simmetria O e che a un qualsiasi punto P associa il punto P' tale che:

    - P e P' appartengano alla stessa retta;

    - OP e OP' siano segmenti congruenti.

    Evidentemente il centro di simmetria O è un punto unito, infatti coincide col suo trasformato.

    Che legame c'è tra rette unite e punti uniti di una stessa trasformazione?

    Se tutti i punti di una retta sono punti uniti allora la retta è unita, ma non vale il viceversa, cioè non è detto che tutti i punti di una retta unita siano punti uniti.

    Consideriamo, a titolo di esempio, una simmetria assiale.

    Tutti i punti che giacciono sull'asse di simmetria sono punti uniti, dunque l'asse è una retta unita.

    Ogni retta r perpendicolare all'asse in un punto M è anch'essa una retta unita, ma i suoi punti non sono uniti. A un qualsiasi punto P \in r e distinto da M corrisponde, infatti, il punto P' \in r tale che MP=MP'.

     

    Rette unite e punti uniti

     

    Evidentemente, sebbene r sia una retta unita rispetto alla simmetria assiale, il punto P \in r non coincide con la sua immagine P', quindi non è un punto unito.

    Trovare le rette unite di una trasformazione geometrica piana

    Dalla definizione segue che una retta r è una retta unita rispetto a una trasformazione f se l'equazione di r è soddisfatta anche dal punto P', trasformato rispetto a f di un qualsiasi punto P \in r.

    Il metodo che permette di determinare le equazioni delle rette unite di una trasformazione geometrica è relativamente semplice e si basa sulla precedente osservazione, ma al tempo stesso è difficile da spiegare senza l'aiuto di un esempio.

    Per capire come procedere risolviamo il seguente esercizio, in cui è richiesto di trovare (se esistono) le rette unite della trasformazione definita dalle seguenti formule

    f: \ \begin{cases}x'=2x-y+4 \\ y'=x+4y \end{cases}

    Scriviamo l'equazione in forma esplicita di una qualsiasi retta del piano

    r: \ y=mx+q

    Tale retta è unita se e solo se la sua equazione è soddisfatta anche dal punto P'(x',y') trasformato del generico punto P(x,y) \in r, ossia se

    y'=mx'+q

    Sostituendo le leggi che definiscono la trasformazione

    \underbrace{x+4y}_{y'} = m (\underbrace{2x-y+4}_{x'}) + q

    otteniamo l'equazione di una nuova retta

    x+4y=m(2x-y+4)+q

    che dobbiamo scrivere in forma esplicita.

    \\ x+4y = 2mx-my+4m+q \\ \\ 4y+my = 2mx-x+4m+q \\ \\ (m+4)y=(2m-1)x+4m+q

    Ponendo m \neq -4 dividiamo ambo i membri dell'equazione per m+4.

    y=\dfrac{2m-1}{m+4}x+\dfrac{4m+q}{m+4}, \ \mbox{ con } m\neq -4

    è l'equazione cercata.

    La retta di partenza r: \ y=mx+q è una retta unita per f se la sua equazione coincide con l'equazione della retta appena ottenuta, quindi devono essere soddisfatte le seguenti condizioni

    \begin{cases}\frac{2m-1}{m+4}=m \\ \\ \frac{4m+q}{m+4} = q\end{cases}

    che individuano un sistema di equazioni. Partiamo dalla risoluzione della prima equazione, che è un'equazione fratta di primo grado nell'incognita m.

    \\ \frac{2m-1}{m+4}=m \\ \\ \\ \frac{2m-1}{m+4}=\frac{m(m+4)}{m+4} \\ \\ \\ 2m-1=m^2+4m, \mbox{ con } m\neq -4 \\ \\ m^2+2m+1=0

    Siamo ricaduti in un'equazione di secondo grado con discriminante nullo

    \Delta=b^2-4ac = 2^2-4 \cdot 1 = 4-4=0

    che ammette le due soluzioni reali coincidenti

    m_1=m_2=m=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1

    Sostituiamo m=-1 nella seconda equazione del sistema e ricaviamo il valore di q

    \\ \frac{4m+q}{m+4} = q \\ \\ \\ \frac{4 \cdot (-1)+q}{-1+4} = q \\ \\ \\ \frac{-4+q}{3}=q \\ \\ -4+q=3q \\ \\ 2q=-4 \\ \\ q=-2

    In definitiva

    r: \ y=mx+q

    è una retta unita per f se m=-1 e q=-2, quindi

    r: \ y=-x-2

    è la retta cercata.

    Questo, però, non conclude l'esercizio. Considerando l'equazione in forma esplicita

    y=mx+q

    restano fuori dalla ricerca tutte le rette parallele all'asse delle ordinate, ossia le rette la cui equazione è della forma

    x=k.

    Dobbiamo allora controllare se vi sono rette unite di questa forma procedendo come fatto poc'anzi.

    Consideriamo l'equazione

    x'=k

    e sostituiamo le leggi della trasformazione f

    \underbrace{2x-y+4}_{x'}=k

    per poi riscriverla nella forma

    x=\frac{y}{2}+\frac{k-4}{2}

    Si osserva immediatamente che non esiste nessun valore di k tale per cui le rette

    x=k

    e

    x=\frac{y}{2}+\frac{k-4}{2}

    possano coincidere, dunque non vi sono rette unite parallele all'asse delle ordinate.

    Finito! L'unica retta unita della trasformazione in esame è r: \ y=-x-2

    ***

    È tutto! Per una lezione di riepilogo sulle trasformazioni geometriche piane vi rimandiamo alla pagina del link.

    Risposta di Galois
 
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