Soluzioni
  • Il concetto di punto unito viene introdotto nello studio delle trasformazioni geometriche; in particolare, un qualsiasi punto del piano o dello spazio si dice unito se viene trasformato in se stesso.

    Volendo essere più rigorosi, se f è una trasformazione geometrica, un qualsiasi punto P è un punto unito per f se e solo se l'immagine f(P) coincide con P.

    P \mbox{ punto unito per la trasformazione } f \iff f(P)=P

    Punti uniti nelle principali trasformazioni geometriche

    Passiamo in rassegna le principali trasformazioni geometriche del piano e dello spazio, riportando i punti uniti di ciascuna di esse in una tabella.

    Cliccando su ciascun link potrete leggere un intero articolo dedicato alla trasformazione scelta, in cui troverete la definizione, le proprietà e svariati esempi.

     

    Trasformazioni geometriche

    Punti uniti

    Traslazione

    Non ha punti uniti

    Rotazione nel piano

    Centro di rotazione

    Rotazione nello spazio

    Tutti i punti dell'asse di rotazione

    Rototraslazione

    Ha un solo punto unito

    Omotetia

    Centro di omotetia

    Simmetria centrale

    Centro di simmetria

    Simmetria assiale

    Tutti i punti dell'asse di simmetria

    Simmetria radiale nel piano

    Centro di simmetria radiale

    Simmetria radiale nello spazio

    Tutti i punti dell'asse di simmetria radiale

    Simmetria rispetto a un piano

    Tutti i punti appartenenti al piano di simmetria

     

    Attenendoci a quanto riportato in tabella possiamo spendere qualche parola sul numero di punti uniti di una trasformazione geometrica e osservare che:

    - la traslazione è un esempio trasformazione che non ha punti uniti.

    - Simmetria centrale, rotazione nel piano, omotetia e simmetria radiale nel piano hanno un solo punto unito.

    - Rotazione nello spazio, simmetria assiale, simmetria rispetto a un piano e simmetria radiale nello spazio hanno infiniti punti uniti.

    Trovare i punti uniti di una trasformazione geometrica

    Per individuare le coordinate cartesiane degli eventuali punti uniti di una trasformazione geometrica f di cui sono note le formule è sufficiente tralasciare gli apici e risolvere il sistema formato dalle leggi della trasformazione.

    Esempi

    Determinare, se esistono, i punti uniti delle trasformazioni geometriche assegnate.

    1) \begin{cases}x'=2x-y+4 \\ y'=x+4y \end{cases}

    Svolgimento: tralasciamo gli apici e risolviamo il sistema lineare così ottenuto

    \begin{cases}x=2x-y+4 \\ y=x+4y \end{cases}

    In ciascuna equazione portiamo tutto a primo membro e sommiamo i termini simili

    \begin{cases}x-y+4=0 \\ x+3y=0 \end{cases}

    Procediamo col metodo di sostituzione isolando la x dalla seconda equazione

    \begin{cases}x-y+4=0 \\ x=-3y \end{cases}

    per poi sostituirne il valore nella prima, ricadendo in un'equazione di primo grado nell'incognita y

    \begin{cases}-3y-y+4=0 \\ x=-3y \end{cases}

    Risolviamola

    \begin{cases}y=1 \\ x=-3y \end{cases}

    e sostituiamo il valore di y nella seconda equazione

    \begin{cases}y=1 \\ x=-3y=-3 \cdot 1 = -3 \end{cases}

    La soluzione del sistema è il punto P(-3,1) che è l'unico punto unito della trasformazione assegnata.

    2) \begin{cases}x'=y+2 \\ y'=x-2 \end{cases}

    Svolgimento: per trovare gli eventuali punti uniti dobbiamo risolvere il sistema

    \begin{cases}x=y+2 \\ y=x-2 \end{cases}

    Procediamo ancora una volta con il metodo di sostituzione

    \begin{cases}x=y+2 \\ y=y+2-2 \end{cases}

    Risolvendo la seconda equazione si ottiene

    0y=0

    che è un'equazione indeterminata. Quindi il sistema ammette infinite soluzioni e tutti gli infiniti punti della retta y=x-2 sono punti uniti.

    ***

    Per chiudere in bellezza vi consigliamo di dare un'occhiata alle seguenti pagine:

    - lezione di riepilogo sulle trasformazioni geometriche piane;

    - articolo sulla retta unita, in cui abbiamo spiegato cos'è, come si determinano le equazioni delle rette unite e che legame c'è tra rette unite e punti uniti.

    Risposta di Galois
 
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