Punto unito

Un punto unito di una trasformazione geometrica f è un qualsiasi punto P tale che l'immagine f(P) coincide con P, ossia f(P)=P. In altri termini un punto unito di una trasformazione geometrica è un punto che viene trasformato in se stesso.

Punti uniti nelle principali trasformazioni geometriche

Passiamo in rassegna le principali trasformazioni geometriche del piano e dello spazio, specificando quali sono i punti uniti di ciascuna di esse.

Cliccando su ciascun link potrete consultare un approfondimento dedicato alla trasformazione scelta, in cui troverete la definizione, le proprietà e svariati esempi.

Attenendoci a quanto riportato in tabella possiamo spendere qualche parola sul numero di punti uniti di una trasformazione geometrica, e osservare che:

- la traslazione è un esempio di trasformazione che non ha punti uniti.

- Simmetria centrale, rotazione nel piano, omotetia e simmetria radiale nel piano hanno un solo punto unito.

- Rotazione nello spazio, simmetria assiale, simmetria rispetto a un piano e simmetria radiale nello spazio hanno infiniti punti uniti.

Trovare i punti uniti di una trasformazione geometrica

Per individuare le coordinate cartesiane degli eventuali punti uniti di una trasformazione geometrica di cui sono note le formule è sufficiente tralasciare gli apici e risolvere il sistema formato dalle leggi della trasformazione.

Esempi

Determinare, se esistono, i punti uniti delle trasformazioni geometriche assegnate.

1)

Svolgimento: tralasciamo gli apici e risolviamo il sistema lineare così ottenuto

In ciascuna equazione portiamo tutto a primo membro e sommiamo i termini simili

Procediamo col metodo di sostituzione isolando la dalla seconda equazione

per poi sostituirne il valore nella prima, ricadendo in un'equazione di primo grado nell'incognita

Risolviamola

e sostituiamo il valore di nella seconda equazione

La soluzione del sistema è il punto che è l'unico punto unito della trasformazione assegnata.

2)

Svolgimento: per trovare gli eventuali punti uniti dobbiamo risolvere il sistema

Procediamo ancora una volta con il metodo di sostituzione

Risolvendo la seconda equazione si ottiene

che è un'equazione indeterminata. Quindi il sistema ammette infinite soluzioni e tutti gli infiniti punti della retta sono punti uniti.

***

Per concludere vi consigliamo di dare un'occhiata alle seguenti pagine:

- lezione di riepilogo sulle trasformazioni geometriche piane;

- approfondimento sulla retta unita, in cui abbiamo spiegato cos'è, come si determinano le equazioni delle rette unite e che legame c'è tra rette unite e punti uniti.