Soluzioni
  • Un'isometria è una qualsiasi trasformazione geometrica definita nel piano o nello spazio che mantiene inalterate le caratteristiche misurabili di una figura, come le misure dei lati, le ampiezze degli angoli, il perimetro, l'area e il volume.

    In modo equivalente, possiamo affermare che un'isometria è una trasformazione geometrica che conserva le distanze: comunque si scelgono due punti distinti A e B del piano o dello spazio, la distanza di A da B è uguale alla distanza delle loro immagini. In formule:

    f \mbox{ isometria} \iff \mbox{dist}(A,B)=\mbox{dist}(f(A), \ f(B))

    Isometria diretta e isometria inversa

    Le isometrie possono essere classificate in isometrie inverse (o invertenti) e in isometrie dirette (o non invertenti). Per coglierne la differenza e capire come distinguerle consideriamo un poligono qualsiasi e assegniamo una lettera a ciascun vertice, partendo dalla lettera A e disponendo le altre in senso orario.

    Applichiamo l'isometria, chiamiamo A', \ B', \ C', \ .... i vertici corrispondenti del poligono trasformato e osserviamone la disposizione:

    - se sono ancora in senso orario, l'isometria è diretta (o non invertente);

    - se sono in senso antiorario, l'isometria è inversa (o invertente).

     

    Isometria diretta

    Un esempio di isometria diretta.

     

    Isometria inversa

    Un esempio di isometria inversa.

     

    Più brevemente, possiamo dire che un'isometria diretta conserva il verso di rotazione (orario a antiorario che sia), mentre un'isometria inversa scambia il verso con il suo opposto.

    Prima di andare avanti è utile sapere che la composizione di due isometrie è ancora un'isometria. In particolare:

    - componendo due isometrie dirette o due isometrie inverse si ottiene un'isometria diretta;

    - dalla composizione di un'isometria diretta con una inversa (o viceversa) si ricava un'isometria inversa.

    Isometrie involutorie

    Un'isometria è detta involutoria se applicando due volte la stessa isometria si ritorna nella posizione iniziale.

    In termini formali, f è un'isometria involutoria se e solo se per ogni punto P risulta

    f[f(P)] = P

    Elementi uniti nelle isometrie

    In un'isometria si dicono elementi uniti quegli elementi che vengono trasformati in se stessi.

    Generalmente, per ogni trasformazione geometrica si è soliti individuare i punti uniti e le rette unite, dove:

    - i punti uniti sono quei punti che coincidono con la propria immagine;

    - le rette unite sono quelle rette che coincidono con la propria immagine.

    Principali isometrie nel piano e nello spazio

    Passiamo in rassegna i principali tipi di isometria che si studiano alle scuole superiori e nei corsi di Algebra universitaria. Daremo per ciascuna di esse una breve definizione, specificheremo quali sono gli elementi uniti, se si tratta di un'isometria involutoria e se è un'isometria diretta o inversa.

    Per ogni altra informazione vi rimandiamo alle pagine che linkeremo di volta in volta.

    Traslazione

    Ogni traslazione, sia nel piano che nello spazio, è definita da un vettore \vec{v} fissato in modulo, verso e direzione.

    Preso un qualsiasi punto P, una traslazione di vettore \vec{v} associa a P un altro punto P', in modo tale che i vettori \vec{v} e \overset{\longrightarrow}{PP'} siano paralleli e abbiano stessa lunghezza e stesso verso.

     

    Traslazione

     

    Ogni traslazione è un'isometria diretta e gli unici elementi uniti sono le rette parallele al vettore che la definisce.

    Rotazione nel piano

    Fissati un punto O (detto centro di rotazione) e un angolo \alpha definito da un'ampiezza e da un verso (orario o antiorario), la rotazione di centro O e angolo \alpha associa a un punto P distinto da O un punto P' tale che:

    - i segmenti OP e OP' siano segmenti congruenti;

    - gli angoli \alpha e \widehat{POP'} abbiano la stessa ampiezza e lo stesso verso.

     

    Rotazione nel piano

     

    Ogni rotazione nel piano è un'isometria non invertente (o diretta) e il centro di rotazione è l'unico elemento unito.

    Rotazione nello spazio

    Per definire una rotazione nello spazio ci occorrono una retta r (detta asse di rotazione) e un angolo \alpha per cui sono stati fissati un verso e un'ampiezza.

    La rotazione di asse r e angolo \alpha associa a un qualsiasi punto P \notin r dello spazio il punto P' tale che:

    - P' appartenga al piano \omega perpendicolare alla retta r e passante per P;

    - i segmenti OP e OP' abbiano la stessa lunghezza, dove O è il punto di intersezione tra retta e piano;

    - gli angoli \alpha e \widehat{POP'} abbiano stessa ampiezza e stesso verso.

     

    Rotazione nello spazio come isometria

     

    Anche la rotazione nello spazio è un'isometria diretta e i suoi elementi uniti sono l'asse di rotazione e tutti i punti dell'asse di rotazione.

    Simmetria centrale

    Consideriamo un qualsiasi punto O del piano o dello spazio (che diremo centro di simmetria) e sia P un punto distinto da O.

    Una simmetria centrale associa a ogni punto P il punto P' tale che O sia il punto medio del segmento PP'.

     

    Simmetria centrale

     

    Ogni simmetria centrale è un'isometria diretta in cui il centro di simmetria è l'unico punto unito e tutte le rette passanti per il centro di simmetria sono rette unite.

    Simmetria assiale nel piano

    Per introdurre la simmetria assiale nel piano abbiamo bisogno di una retta r (la quale si dirà asse di simmetria). Tale trasformazione associa a un punto P del piano il punto P' in modo tale che la retta r sia asse del segmento PP'.

     

    Simmetria assiale nel piano

     

    È un'isometria inversa (o invertente) e i suoi elementi uniti sono i punti dell'asse di simmetria e tutte le rette a esso perpendicolari.

    Simmetria assiale nello spazio

    Fissata una retta r, una simmetria assiale nello spazio equivale a una rotazione nello spazio di angolo \alpha=180^{\circ} attorno alla retta r, quindi non c'è nulla di nuovo da dover aggiungere rispetto a quanto detto per la rotazione.

     

    Simmetria assiale nello spazio

     

    Simmetria rispetto a un piano

    È un'isometria dello spazio definita a partire da un piano \alpha, detto piano di simmetria.

    Considerato un punto P non appartenente ad \alpha, la simmetria rispetto a un piano associa al punto P il punto P' tale che:

    - appartenga alla retta r passante per P e perpendicolare al piano;

    - il punto d'intersezione tra la retta r e il piano \alpha sia punto medio del segmento PP'.

     

    Simmetria rispetto a un piano

     

    Ogni simmetria rispetto a un piano è un'isometria inversa (o invertente); tutti i punti appartenenti al piano sono punti uniti e tutte le rette che giacciono sul piano o che sono perpendicolari a esso sono rette unite.

    ***

    Due esempi di trasformazioni geometriche che non sono isometrie sono l'omotetia e la similitudine, che abbiamo trattato approfonditamente nelle pagine dei link.

    ***

    È tutto! Per un elenco delle formule delle trasformazioni geometriche vi rimandiamo alla pagina del link, se invece volete saperne di più sulla simmetria nel piano - click!

    Risposta di Galois
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Domande della categoria Superiori-Geometria