Tipi di isometrie nel piano e nello spazio, definizioni ed esempi

Un'isometria è una qualsiasi trasformazione geometrica definita nel piano o nello spazio che mantiene inalterate le caratteristiche misurabili di una figura, come le misure dei lati, le ampiezze degli angoli, il perimetro, l'area e il volume.

In modo equivalente, possiamo affermare che un'isometria è una trasformazione geometrica che conserva le distanze: comunque si scelgono due punti distinti e del piano o dello spazio, la distanza di da è uguale alla distanza delle loro immagini.

In formule:

Isometria diretta e isometria inversa

Le isometrie possono essere classificate in isometrie inverse (o invertenti) e in isometrie dirette (o non invertenti).

Per coglierne la differenza e capire come distinguerle consideriamo un poligono qualsiasi e assegniamo una lettera a ciascun vertice, partendo dalla lettera e disponendo le altre in senso orario.

Applichiamo l'isometria, chiamiamo i vertici corrispondenti del poligono trasformato e osserviamone la disposizione:

- se sono ancora in senso orario, l'isometria è diretta (o non invertente);

- se sono in senso antiorario, l'isometria è inversa (o invertente).

Un esempio di isometria diretta.

Un esempio di isometria inversa.

Più brevemente possiamo dire che un'isometria diretta conserva il verso di rotazione (orario a antiorario che sia), mentre un'isometria inversa scambia il verso con il suo opposto.

Prima di andare avanti è utile sapere che la composizione di due isometrie è ancora un'isometria. In particolare:

- componendo due isometrie dirette o due isometrie inverse si ottiene un'isometria diretta;

- dalla composizione di un'isometria diretta con una inversa (o viceversa) si ricava un'isometria inversa.

Isometrie involutorie

Un'isometria è detta involutoria se applicando due volte la stessa isometria si ritorna nella posizione iniziale.

In termini formali, è un'isometria involutoria se e solo se per ogni punto risulta

Elementi uniti nelle isometrie

In un'isometria si dicono elementi uniti quegli elementi che vengono trasformati in se stessi.

Generalmente, per ogni trasformazione geometrica si è soliti individuare i punti uniti e le rette unite, dove:

- i punti uniti sono quei punti che coincidono con la propria immagine;

- le rette unite sono quelle rette che coincidono con la propria immagine.

Principali isometrie nel piano e nello spazio

Passiamo in rassegna i principali tipi di isometria che si studiano alle scuole superiori e nei corsi di Algebra universitaria. Daremo per ciascuna di esse una breve definizione, specificheremo quali sono gli elementi uniti, se si tratta di un'isometria involutoria e se è un'isometria diretta o inversa.

Per ogni altra informazione vi rimandiamo alle pagine che linkeremo di volta in volta.

Traslazione

Ogni traslazione, sia nel piano che nello spazio, è definita da un vettore fissato in modulo, verso e direzione.

Preso un qualsiasi punto , una traslazione di vettore associa a un altro punto , in modo tale che i vettori e siano paralleli e abbiano stessa lunghezza e stesso verso.

Ogni traslazione è un'isometria diretta e gli unici elementi uniti sono le rette parallele al vettore che la definisce.

Rotazione nel piano

Fissati un punto (detto centro di rotazione) e un angolo definito da un'ampiezza e da un verso (orario o antiorario), la rotazione di centro e angolo associa a un punto distinto da un punto tale che:

- i segmenti e siano segmenti congruenti;

- gli angoli e abbiano la stessa ampiezza e lo stesso verso.

Ogni rotazione nel piano è un'isometria non invertente (o diretta) e il centro di rotazione è l'unico elemento unito.

Rotazione nello spazio

Per definire una rotazione nello spazio ci occorrono una retta (detta asse di rotazione) e un angolo per cui sono stati fissati un verso e un'ampiezza.

La rotazione di asse e angolo associa a un qualsiasi punto dello spazio il punto tale che:

- appartenga al piano perpendicolare alla retta e passante per ;

- i segmenti e abbiano la stessa lunghezza, dove è il punto di intersezione tra retta e piano;

- gli angoli e abbiano stessa ampiezza e stesso verso.

Anche la rotazione nello spazio è un'isometria diretta e i suoi elementi uniti sono l'asse di rotazione e tutti i punti dell'asse di rotazione.

Simmetria centrale

Consideriamo un qualsiasi punto del piano o dello spazio (che diremo centro di simmetria) e sia un punto distinto da .

Una simmetria centrale associa a ogni punto il punto tale che sia il punto medio del segmento .

Ogni simmetria centrale è un'isometria diretta in cui il centro di simmetria è l'unico punto unito e tutte le rette passanti per il centro di simmetria sono rette unite.

Simmetria assiale nel piano

Per introdurre la simmetria assiale nel piano abbiamo bisogno di una retta (la quale si dirà asse di simmetria). Tale trasformazione associa a un punto del piano il punto in modo tale che la retta sia asse del segmento .

È un'isometria inversa (o invertente) e i suoi elementi uniti sono i punti dell'asse di simmetria e tutte le rette a esso perpendicolari.

Simmetria assiale nello spazio

Fissata una retta , una simmetria assiale nello spazio equivale a una rotazione nello spazio di angolo attorno alla retta , quindi non c'è nulla di nuovo da dover aggiungere rispetto a quanto detto per la rotazione.

Simmetria rispetto a un piano

È un'isometria dello spazio definita a partire da un piano , detto piano di simmetria.

Considerato un punto non appartenente ad , la simmetria rispetto a un piano associa al punto il punto tale che:

- appartenga alla retta passante per e perpendicolare al piano;

- il punto d'intersezione tra la retta e il piano sia punto medio del segmento .

Ogni simmetria rispetto a un piano è un'isometria inversa (o invertente); tutti i punti appartenenti al piano sono punti uniti e tutte le rette che giacciono sul piano o che sono perpendicolari a esso sono rette unite.

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È tutto! Per un elenco delle formule delle trasformazioni geometriche vi rimandiamo alla pagina del link, se invece volete saperne di più sulla simmetria nel piano - click!