Soluzioni
  • Un fuso sferico è la parte di superficie sferica compresa tra due semipiani che hanno come origine lo stesso diametro. In modo equivalente, un fuso sferico è la parte di superficie sferica appartenente a uno spicchio sferico.

    Per non lasciare spazio a dubbi e capire cos'è un fuso sferico, disegniamo una sfera e un suo diametro. Consideriamo poi due semicerchi qualsiasi in modo che i diametri coincidano con il diametro della sfera scelto in precedenza:

     

    Fuso sferico

    Un fuso sferico.

     

    La parte evidenziata in grigio, ossia la porzione di superficie sferica compresa tra le semicirconferenze che individuano i due semicerchi, è un esempio di fuso sferico.

    L'ampiezza dell'angolo diedro compreso tra i due semicerchi costituisce l'ampiezza del fuso sferico, che nell'immagine abbiamo indicato con la lettera greca \alpha.

    Formule del fuso sferico

    La seguente tabella riporta le formule dirette e inverse del fuso sferico. Abbiamo indicato con \alpha la sua ampiezza espressa in gradi, con R il raggio della sfera cui appartiene e con S_{tot} l'area della superficie del fuso.

     

    Area della superficie del fuso sferico

    S_{tot}=\frac{\alpha \pi R^2}{90^{\circ}}

    Raggio (da area e ampiezza)

    R=\sqrt{\frac{S_{tot} \cdot 90^{\circ}}{\pi \alpha}}

    Ampiezza del fuso sferico (da area e raggio)

    \alpha=\frac{S_{tot} \cdot 90^{\circ}}{\pi R^2}

    Per il Pi Greco si può usare l'approssimazione

    \pi \simeq 3,14

     

    L'unica formula da tenere in considerazione è quella sul calcolo dell'area della superficie del fuso sferico, perché le altre si possono ricavare con semplici passaggi algebrici. A dire il vero, anche la formula dell'area si può determinare da una formula già nota: vediamo come.

    Formula per il calcolo dell'area di un fuso sferico

    L'area della superficie di un fuso sferico è uguale al prodotto tra la sua ampiezza, espressa in gradi, la costante Pi Greco e il quadrato della misura del raggio della sfera cui appartiene, il tutto diviso 90°.

    S_{tot}=\frac{\alpha \pi R^2}{90^{\circ}}

    Questa formula si ricava da quella dell'area della superficie della sfera. Osserviamo infatti che la superficie della sfera è un caso particolare di fuso sferico di ampiezza uguale a 360°, per cui vale la seguente proporzione:

    S_{\mbox{fuso}} : S_{\mbox{sfera}} = \alpha : 360^{\circ}

    Per la proprietà fondamentale delle proporzioni, il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi

    S_{\mbox{fuso}} \cdot 360^{\circ} = \alpha \cdot S_{\mbox{sfera}}

    L'area della superficie della sfera è uguale a 4\pi R^2, per cui abbiamo

    S_{\mbox{fuso}} \cdot 360^{\circ} = \alpha \cdot 4\pi R^2

    Dividiamo ambo i membri della precedente uguaglianza per 360°

    S_{\mbox{fuso}} = \frac{\alpha \cdot 4\pi R^2}{360^{\circ}}

    Semplificando otteniamo proprio la formula dell'area della superficie del fuso sferico:

    S_{\mbox{fuso}} = \frac{\alpha\pi R^2}{90^{\circ}}

    Esercizi svolti sul fuso sferico

    Passiamo a risolvere alcuni problemi sul fuso sferico analizzando ogni singolo passaggio.

    1) Calcola l'area della superficie di un fuso sferico sapendo che è ampio 54°, e che il raggio della sfera cui appartiene misura 15 cm.

    Svolgimento: dai dati forniti dalla traccia conosciamo l'ampiezza del fuso sferico

    \alpha = 54^{\circ}

    e la misura del raggio della sfera a cui appartiene

    R=15 \mbox{ cm}

    Abbiamo dunque tutto quello che serve per calcolare l'area della superficie del fuso:

    \\ S_{tot}=\frac{\alpha \pi R^2}{90^{\circ}} = \frac{54^{\circ} \cdot \pi \cdot (15 \mbox{ cm})^2}{90^{\circ}} = \\ \\ \\ = \frac{54^{\circ} \cdot \pi \cdot (225 \mbox{ cm}^2)}{90^{\circ}} = \\ \\ \\ = \frac{12150 \pi \mbox{ cm}^2}{90}=135 \pi \mbox{ cm}^2

    Concludiamo che l'area della superficie del fuso sferico è di 135π cm2.

    2) Un fuso sferico appartiene a una sfera di raggio 30 cm e ha l'area della superficie di 1884 cm2. Calcola la sua ampiezza.

    Svolgimento: conosciamo la misura del raggio della sfera e l'area della superficie del fuso sferico

    \\ R=30 \mbox{ cm} \\ \\ S_{tot}=1884 \mbox{ cm}^2

    dunque possiamo calcolare la sua ampiezza con la formula inversa dell'area

    \alpha=\frac{S_{tot} \cdot 90^{\circ}}{\pi R^2} = \frac{(1884 \mbox{ cm}^2) \cdot 90^{\circ}}{\pi \cdot (30 \mbox{ cm})^2}=

    Eleviamo al quadrato e sostituiamo \pi con la sua approssimazione alla seconda cifra decimale

    \simeq \frac{(1884 \mbox{ cm}^2) \cdot 90^{\circ}}{3,14 \cdot (900 \mbox{ cm}^2)}=

    Con le dovute semplificazioni, ricaviamo:

    =60^{\circ}

    Ecco allora che l'ampiezza del fuso sferico è di 60°.

    3) Calcola la misura del raggio di una sfera sapendo che un suo fuso sferico ha una superficie di 510,3π metri quadrati e un'ampiezza di 63°.

    Svolgimento: scriviamo i dati

    \\ S_{tot}=510,3 \pi \mbox{ m}^2 \\ \\ \alpha=63^{\circ}

    e calcoliamo la misura del raggio della sfera con la formula

    \\ R=\sqrt{\frac{S_{tot} \cdot 90^{\circ}}{\pi \alpha}}=

    sostituiamo S_{tot} e \alpha

    =\sqrt{\frac{(510,3 \pi \mbox{ m}^2) \cdot 90^{\circ}}{\pi \cdot 63^{\circ}}}=

    Svolgiamo i calcoli ed estraiamo la radice quadrata

     = \sqrt{729 \mbox{ m}^2} = 27 \mbox{ m}

    Abbiamo finito! Il raggio della sfera misura 27 metri.

    ***

    Per concludere ti consigliamo di dare un'occhiata al formulario sulla sfera, dove trovi tutte le formule per il calcolo dell'area e del volume delle parti di una sfera, comprese quelle sullo spicchio sferico.

    Risposta di Galois
 
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