Soluzioni
  • Due rette incidenti sono rette che si intersecano esattamente in un punto o, in modo equivalente, due rette sono incidenti se hanno uno e un solo punto in comune; tale punto prende il nome di punto di incidenza o di punto di intersezione.

    La precedente definizione è valida sia nel caso di rette incidenti nel piano, sia nel caso di rette incidenti nello spazio.

    Esempio di rette incidenti nel piano

    Le due rette r,s della seguente immagine sono incidenti e P è il loro punto di intersezione.

     

    Rette incidenti

    Rette incidenti nel piano.

     

    Volendo esprimere la definizione di rette incidenti con il simbolismo matematico useremo semplicemente la notazione per l'intersezione tra insiemi, denotando il punto di intersezione:

    r \cap s = \{P\}

    Rette incidenti nel piano cartesiano

    Ora che sappiamo quando due rette sono incidenti, vediamo come si risolvono gli esercizi di Geometria Analitica che assegnano le equazioni di due rette r,s nel piano cartesiano e che chiedono di stabilire se se sono incidenti oppure no.

    La prima cosa da fare è ricavare l'equazione in forma esplicita delle due rette.

    • Se sono della forma x=k e x=h, significa che sono rette parallele all'asse delle ordinate. Possono essere parallele coincidenti o parallele distinte (rispettivamente se k=h oppure no), ma in ogni caso non sono incidenti.

    • Se una è della forma x=k e l'altra è della forma y=mx+q, allora sono rette incidenti.

    • Se entrambe le rette sono della forma y=mx+q basta osservare i loro coefficienti angolari, ossia i coefficienti della x:

    - se sono uguali, le rette sono parallele;

    - se sono diversi, le rette sono incidenti.

    In tutti i casi in cui le rette sono incidenti, le coordinate cartesiane del loro punto di intersezione si ottengono risolvendo il sistema lineare formato dalle loro equazioni.

    Esempio sullo studio dell'incidenza di due rette dalle loro equazioni

    Stabilire se le rette

    \\ r: \ y=x \\ \\ s: \ 2x+y-6=0

    sono incidenti, e laddove lo fossero trovare il loro punto di intersezione.

    Svolgimento: la retta r è in forma esplicita, ma non lo è la retta s, che è data in forma implicita.

    Passiamo allora dall'equazione in forma implicita all'equazione in forma esplicita:

    s: \ y=-2x+6

    Entrambe le equazioni sono della forma y=mx+q e, in particolare:

    m_r=1 \ \ ; \ \ m_s=-2

    Poiché i coefficienti angolari sono diversi, r,s sono incidenti.

    Troviamo le coordinate del loro punto di intersezione risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due rette

    \begin{cases}y=x \\ y=-2x+6\end{cases}

    Usiamo il metodo di sostituzione e sostituiamo l'espressione della prima equazione nella seconda

    \begin{cases}y=x \\ x=-2x+6\end{cases}

    Risolviamo l'equazione di primo grado nell'incognita x

    \begin{cases}y=x \\ x=2\end{cases}

    e sostituiamo il valore ottenuto per x nella prima equazione

    \begin{cases}y=2 \\ x=2\end{cases}

    La soluzione del sistema è

    (x,y)=(2,2)

    e quindi le rette r,s si intersecano nel punto P(2,2).

    ***

    Con questo è tutto, ma per completezza eccoti qualche spunto di approfondimento:

    - formulario sulla retta;

    - posizioni reciproche di due rette nel piano;

    - come disegnare una retta nel piano cartesiano.

    Risposta di Galois
 
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