Una rototraslazione è la composizione tra una rotazione e una traslazione, e quindi è un'isometria, cioè una trasformazione geometrica che lascia inalterate le distanze.
In altri termini, possiamo pensare alla rototraslazione come a un movimento rigido in cui una figura geometrica prima ruota e poi trasla; in una sola parola diremo che rototrasla.
Definizione di rototraslazione
Per definire una rototraslazione abbiamo bisogno di:
- un punto nel piano o una retta nello spazio rispetto a cui ruotare;
- un angolo
caratterizzato da un'ampiezza e da un verso (orario o antiorario);
- un vettore
rispetto al quale traslare.
È importante rispettare l'ordine con cui si eseguono le due trasformazioni: prima si ruota e poi si trasla.
Se si inverte l'ordine e si esegue prima la traslazione e poi la rotazione, potrebbe capitare di ritrovarsi con una figura che ha una posizione totalmente diversa rispetto a quella che dovrebbe avere.
Con un leggero abuso di linguaggio, questa proprietà si esprime dicendo che la rototraslazione non è commutativa.
Esempio
Consideriamo un triangolo di vertici
e supponiamo di volerlo rototraslare nel piano nel seguente modo:
- ruotarlo di 90° in senso orario attorno al punto
fissato;
- effettuare una traslazione di un vettore
fissato in modulo, direzione e verso.
Rototraslazione.
Il triangolo di vertici
è il risultato della rotazione di 90° in senso orario del triangolo
attorno al punto
, mentre il triangolo di vertici
è il traslato del triangolo
.
Di contro, lasciando inalterati il punto di rotazione, l'angolo di rotazione, e il vettore di traslazione, se si esegue prima la traslazione e poi la rotazione ecco il risultato
Rototraslazione non commutativa.
Com'è immediato osservare, i triangoli di vertici
occupano, nelle due immagini, una posizione totalmente diversa, a conferma del fatto che la rototraslazione non è commutativa.
***
Per fare un ripasso completo di tutte le trasformazioni geometriche piane vi rimandiamo alla lezione del link.
Rototraslazione nel piano cartesiano
Nel piano cartesiano, a ogni trasformazione geometrica è associata una serie di formule analitiche che permettono di ricavare l'equazione o le coordinate cartesiane dell'elemento trasformato.
Per la rototraslazione non serve imparare nessuna formula diretta, ma è sufficiente ricordare le leggi che definiscono la rotazione e la traslazione:
- una rotazione in senso antiorario di un angolo
attorno a un punto
è descritta da
- una traslazione di vettore
è individuata da
In entrambi i casi
e
sono le coordinate trasformate, mentre
e
sono quelle dell'equazione o del punto di partenza.
Esempio di rototraslazione nel piano cartesiano
Rototraslare la retta
di equazione
effettuando una una rotazione di 90° in senso antiorario attorno all'origine degli assi cartesiani, e una traslazione di vettore
.
Svolgimento: iniziamo col determinare l'equazione della retta
ruotata della retta
di 90° in senso antiorario rispetto all'origine
, per poi traslare la retta
rispetto al vettore
, così da giungere all'equazione della retta rototraslata.
Rotazione
Le formule analitiche della rotazione in senso antiorario di un angolo
attorno a un punto
sono
Dunque, sostituiamo
ottenendo
Il coseno di 90° è 0, mentre il seno di 90° è 1, dunque
da cui
Sostituendo nell'equazione della retta
otteniamo l'equazione
della retta ruotata
ossia
Tralasciando gli apici abbiamo
Traslazione
Proseguiamo traslando la retta
attraverso il vettore
.
Nelle formule analitiche della traslazione
sostituiamo
con
e
con
Invertiamo le due formule ricavando i valori di
e
in funzione di
e
Sostituiamoli nell'equazione della retta
ottenendo l'equazione della retta
In definitiva, dalla rototraslazione della retta
si ricava la retta
di equazione
***
Per un elenco con le formule analitiche delle trasformazioni geometriche piane potete consultare la lezione del link. ;)
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