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  • Una rototraslazione è la composizione tra una rotazione e una traslazione, e quindi è un'isometria, cioè una trasformazione geometrica che lascia inalterate le distanze.

    In altri termini, possiamo pensare alla rototraslazione come a un movimento rigido in cui una figura geometrica prima ruota e poi trasla; in una sola parola diremo che rototrasla.

    Definizione di rototraslazione

    Per definire una rototraslazione abbiamo bisogno di:

    - un punto nel piano o una retta nello spazio rispetto a cui ruotare;

    - un angolo α caratterizzato da un'ampiezza e da un verso (orario o antiorario);

    - un vettore v rispetto al quale traslare.

    È importante rispettare l'ordine con cui si eseguono le due trasformazioni: prima si ruota e poi si trasla.

    Se si inverte l'ordine e si esegue prima la traslazione e poi la rotazione, potrebbe capitare di ritrovarsi con una figura che ha una posizione totalmente diversa rispetto a quella che dovrebbe avere.

    Con un leggero abuso di linguaggio, questa proprietà si esprime dicendo che la rototraslazione non è commutativa.

    Esempio

    Consideriamo un triangolo di vertici A, B, C e supponiamo di volerlo rototraslare nel piano nel seguente modo:

    - ruotarlo di 90° in senso orario attorno al punto O fissato;

    - effettuare una traslazione di un vettore v fissato in modulo, direzione e verso.

     

    Rototraslazione

    Rototraslazione.

     

    Il triangolo di vertici A', B', C' è il risultato della rotazione di 90° in senso orario del triangolo ABC attorno al punto O, mentre il triangolo di vertici A'', B'', C'' è il traslato del triangolo A'B'C'.

    Di contro, lasciando inalterati il punto di rotazione, l'angolo di rotazione, e il vettore di traslazione, se si esegue prima la traslazione e poi la rotazione ecco il risultato

     

    Rototraslazione non commutativa

    Rototraslazione non commutativa.

     

    Com'è immediato osservare, i triangoli di vertici A''B''C'' occupano, nelle due immagini, una posizione totalmente diversa, a conferma del fatto che la rototraslazione non è commutativa.

    ***

    Per fare un ripasso completo di tutte le trasformazioni geometriche piane vi rimandiamo alla lezione del link.

    Rototraslazione nel piano cartesiano

    Nel piano cartesiano, a ogni trasformazione geometrica è associata una serie di formule analitiche che permettono di ricavare l'equazione o le coordinate cartesiane dell'elemento trasformato.

    Per la rototraslazione non serve imparare nessuna formula diretta, ma è sufficiente ricordare le leggi che definiscono la rotazione e la traslazione:

    - una rotazione in senso antiorario di un angolo α attorno a un punto P(a,b) è descritta da

    x'= (x-a)cos(α)-(y-b)sin(α) ; y'= (x-a)sin(α)+(y-b) cos(α)

    - una traslazione di vettore v = (v_x, v_y) è individuata da

    x'= x+v_x ; y'= y+v_y

    In entrambi i casi x' e y' sono le coordinate trasformate, mentre x e y sono quelle dell'equazione o del punto di partenza.

    Esempio di rototraslazione nel piano cartesiano

    Rototraslare la retta r di equazione x+y-3 = 0 effettuando una una rotazione di 90° in senso antiorario attorno all'origine degli assi cartesiani, e una traslazione di vettore v = (2,1).

    Svolgimento: iniziamo col determinare l'equazione della retta r' ruotata della retta r di 90° in senso antiorario rispetto all'origine O(0,0), per poi traslare la retta r' rispetto al vettore v, così da giungere all'equazione della retta rototraslata.

    Rotazione

    Le formule analitiche della rotazione in senso antiorario di un angolo α attorno a un punto P(a,b) sono

    x'= (x-a)cos(α)-(y-b)sin(α) ; y'= (x-a)sin(α)+(y-b) cos(α)

    Dunque, sostituiamo

     α → 90° ; a → 0 ; b → 0

    ottenendo

    x'= xcos(90°)-ysin(90°) ; y'= xsin(90°)+y cos(90°)

    Il coseno di 90° è 0, mentre il seno di 90° è 1, dunque

    x'= -y ; y'= x

    da cui

    y = -x'; x = y'

    Sostituendo nell'equazione della retta r

    r: x+y-3 = 0

    otteniamo l'equazione r' della retta ruotata

    r': y'-x'-3 = 0

    ossia

    r': x'-y'+3 = 0

    Tralasciando gli apici abbiamo

    r': x-y+3 = 0

    Traslazione

    Proseguiamo traslando la retta r' attraverso il vettore v = (2,1).

    Nelle formule analitiche della traslazione

    x'= x+v_x ; y'= y+v_y

    sostituiamo v_x con 2 e v_y con 1

    x'= x+2 ; y'= y+1

    Invertiamo le due formule ricavando i valori di x e y in funzione di x' e y'

    x = x'-2 ; y = y'-1

    Sostituiamoli nell'equazione della retta r'

    r': x-y+3 = 0

    ottenendo l'equazione della retta r''

     r'': (x'-2)-(y'-1)+3 = 0 ; r'': x'-2-y'+1+3 = 0 ; r'': x'-y'+2 = 0

    In definitiva, dalla rototraslazione della retta r si ricava la retta r'' di equazione

    r'': x-y+2 = 0

    ***

    Per un elenco con le formule analitiche delle trasformazioni geometriche piane potete consultare la lezione del link. ;)

    Risposta di Galois
 
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