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  • Una rototraslazione è la composizione tra una rotazione e una traslazione, e quindi è un'isometria, cioè una trasformazione geometrica che lascia inalterate le distanze.

    In altri termini, possiamo pensare alla rototraslazione come a un movimento rigido in cui una figura geometrica prima ruota e poi trasla; in una sola parola diremo che rototrasla.

    Definizione di rototraslazione

    Per definire una rototraslazione abbiamo bisogno di:

    - un punto nel piano o una retta nello spazio rispetto a cui ruotare;

    - un angolo \alpha caratterizzato da un'ampiezza e da un verso (orario o antiorario);

    - un vettore \vec{v} rispetto al quale traslare.

    È importante rispettare l'ordine con cui si eseguono le due trasformazioni: prima si ruota e poi si trasla.

    Se si inverte l'ordine e si esegue prima la traslazione e poi la rotazione, potrebbe capitare di ritrovarsi con una figura che ha una posizione totalmente diversa rispetto a quella che dovrebbe avere.

    Con un leggero abuso di linguaggio, questa proprietà si esprime dicendo che la rototraslazione non è commutativa.

    Esempio

    Consideriamo un triangolo di vertici A, B, C e supponiamo di volerlo rototraslare nel piano nel seguente modo:

    - ruotarlo di 90° in senso orario attorno al punto O fissato;

    - effettuare una traslazione di un vettore \vec{v} fissato in modulo, direzione e verso.

    Rototraslazione

    Rototraslazione.

    Il triangolo di vertici A', B', C' è il risultato della rotazione di 90° in senso orario del triangolo ABC attorno al punto O, mentre il triangolo di vertici A'', B'', C'' è il traslato del triangolo A'B'C'.

    Di contro, lasciando inalterati il punto di rotazione, l'angolo di rotazione, e il vettore di traslazione, se si esegue prima la traslazione e poi la rotazione ecco il risultato

    Rototraslazione non commutativa

    Rototraslazione non commutativa.

    Com'è immediato osservare, i triangoli di vertici A''B''C'' occupano, nelle due immagini, una posizione totalmente diversa, a conferma del fatto che la rototraslazione non è commutativa.

    ***

    Per fare un ripasso completo di tutte le trasformazioni geometriche piane vi rimandiamo alla lezione del link.

    Rototraslazione nel piano cartesiano

    Nel piano cartesiano, a ogni trasformazione geometrica è associata una serie di formule analitiche che permettono di ricavare l'equazione o le coordinate cartesiane dell'elemento trasformato.

    Per la rototraslazione non serve imparare nessuna formula diretta, ma è sufficiente ricordare le leggi che definiscono la rotazione e la traslazione:

    - una rotazione in senso antiorario di un angolo \alpha attorno a un punto P(a,b) è descritta da

    \begin{cases}x'=(x-a)\cos(\alpha)-(y-b)\sin(\alpha) \\ y'=(x-a)\sin(\alpha) + (y-b) \cos(\alpha) \end{cases}

    - una traslazione di vettore \vec{v}=(v_x, v_y) è individuata da

    \begin{cases}x'=x+v_x \\ y'=y+v_y \end{cases}

    In entrambi i casi x' e y' sono le coordinate trasformate, mentre x e y sono quelle dell'equazione o del punto di partenza.

    Esempio di rototraslazione nel piano cartesiano

    Rototraslare la retta r di equazione x+y-3=0 effettuando una una rotazione di 90° in senso antiorario attorno all'origine degli assi cartesiani, e una traslazione di vettore \vec{v}=(2,1).

    Svolgimento: iniziamo col determinare l'equazione della retta r' ruotata della retta r di 90° in senso antiorario rispetto all'origine O(0,0), per poi traslare la retta r' rispetto al vettore \vec{v}, così da giungere all'equazione della retta rototraslata.

    Rotazione

    Le formule analitiche della rotazione in senso antiorario di un angolo \alpha attorno a un punto P(a,b) sono

    \begin{cases}x'=(x-a)\cos(\alpha)-(y-b)\sin(\alpha) \\ y'=(x-a)\sin(\alpha) + (y-b) \cos(\alpha) \end{cases}

    Dunque, sostituiamo

    \\ \alpha \ \to \ 90^{\circ} \\ \\ a \ \to \ 0 \\ \\ b \ \to \ 0

    ottenendo

    \begin{cases}x'=x\cos(90^{\circ})-y\sin(90^{\circ}) \\ y'=x\sin(90^{\circ}) + y \cos(90^{\circ}) \end{cases}

    Il coseno di 90° è 0, mentre il seno di 90° è 1, dunque

    \begin{cases}x'=-y \\ y'=x \end{cases}

    da cui

    \begin{cases}y=-x' \\ x=y' \end{cases}

    Sostituendo nell'equazione della retta r

    r: x+y-3=0

    otteniamo l'equazione r' della retta ruotata

    r': y'-x'-3=0

    ossia

    r': x'-y'+3=0

    Tralasciando gli apici abbiamo

    r': x-y+3=0

    Traslazione

    Proseguiamo traslando la retta r' attraverso il vettore \vec{v}=(2,1).

    Nelle formule analitiche della traslazione

    \begin{cases}x'=x+v_x \\ y'=y+v_y \end{cases}

    sostituiamo v_x con 2 e v_y con 1

    \begin{cases}x'=x+2 \\ y'=y+1 \end{cases}

    Invertiamo le due formule ricavando i valori di x e y in funzione di x' e y'

    \begin{cases}x=x'-2 \\ y=y'-1 \end{cases}

    Sostituiamoli nell'equazione della retta r'

    r': x-y+3=0

    ottenendo l'equazione della retta r''

    \\ r'': \ (x'-2)-(y'-1)+3=0 \\ \\ r'': x'-2-y'+1+3=0 \\ \\ r'': x'-y'+2=0

    In definitiva, dalla rototraslazione della retta r si ricava la retta r'' di equazione

    r'': x-y+2=0

    ***

    Per un elenco con le formule analitiche delle trasformazioni geometriche piane potete consultare la lezione del link. ;)

    Risposta di Galois
 
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