Rototraslazione

Una rototraslazione è la composizione tra una rotazione e una traslazione, e quindi è un'isometria, cioè una trasformazione geometrica che lascia inalterate le distanze.

In altri termini, possiamo pensare alla rototraslazione come a un movimento rigido in cui una figura geometrica prima ruota e poi trasla; in una sola parola diremo che rototrasla.

Definizione di rototraslazione

Per definire una rototraslazione abbiamo bisogno di:

- un punto nel piano o una retta nello spazio rispetto a cui ruotare;

- un angolo caratterizzato da un'ampiezza e da un verso (orario o antiorario);

- un vettore rispetto al quale traslare.

È importante rispettare l'ordine con cui si eseguono le due trasformazioni: prima si ruota e poi si trasla.

Se si inverte l'ordine e si esegue prima la traslazione e poi la rotazione, potrebbe capitare di ritrovarsi con una figura che ha una posizione totalmente diversa rispetto a quella che dovrebbe avere.

Con un leggero abuso di linguaggio, questa proprietà si esprime dicendo che la rototraslazione non è commutativa.

Esempio

Consideriamo un triangolo di vertici e supponiamo di volerlo rototraslare nel piano nel seguente modo:

- ruotarlo di 90° in senso orario attorno al punto fissato;

- effettuare una traslazione di un vettore fissato in modulo, direzione e verso.

Rototraslazione.

Il triangolo di vertici è il risultato della rotazione di 90° in senso orario del triangolo attorno al punto , mentre il triangolo di vertici è il traslato del triangolo .

Di contro, lasciando inalterati il punto di rotazione, l'angolo di rotazione, e il vettore di traslazione, se si esegue prima la traslazione e poi la rotazione ecco il risultato

Rototraslazione non commutativa.

Com'è immediato osservare, i triangoli di vertici occupano, nelle due immagini, una posizione totalmente diversa, a conferma del fatto che la rototraslazione non è commutativa.

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Per fare un ripasso completo di tutte le trasformazioni geometriche piane vi rimandiamo alla lezione del link.

Rototraslazione nel piano cartesiano

Nel piano cartesiano, a ogni trasformazione geometrica è associata una serie di formule analitiche che permettono di ricavare l'equazione o le coordinate cartesiane dell'elemento trasformato.

Per la rototraslazione non serve imparare nessuna formula diretta, ma è sufficiente ricordare le leggi che definiscono la rotazione e la traslazione:

- una rotazione in senso antiorario di un angolo attorno a un punto è descritta da

- una traslazione di vettore è individuata da

In entrambi i casi e sono le coordinate trasformate, mentre e sono quelle dell'equazione o del punto di partenza.

Esempio di rototraslazione nel piano cartesiano

Rototraslare la retta di equazione effettuando una una rotazione di 90° in senso antiorario attorno all'origine degli assi cartesiani, e una traslazione di vettore .

Svolgimento: iniziamo col determinare l'equazione della retta ruotata della retta di 90° in senso antiorario rispetto all'origine , per poi traslare la retta rispetto al vettore , così da giungere all'equazione della retta rototraslata.

Rotazione

Le formule analitiche della rotazione in senso antiorario di un angolo attorno a un punto sono

Dunque, sostituiamo

ottenendo

Il coseno di 90° è 0, mentre il seno di 90° è 1, dunque

da cui

Sostituendo nell'equazione della retta

otteniamo l'equazione della retta ruotata

ossia

Tralasciando gli apici abbiamo

Traslazione

Proseguiamo traslando la retta attraverso il vettore .

Nelle formule analitiche della traslazione

sostituiamo con e con

Invertiamo le due formule ricavando i valori di e in funzione di e

Sostituiamoli nell'equazione della retta

ottenendo l'equazione della retta

In definitiva, dalla rototraslazione della retta si ricava la retta di equazione

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Per un elenco con le formule analitiche delle trasformazioni geometriche piane potete consultare la lezione del link. ;)