Rotazione nel piano e nello spazio: definizione con formule ed esempi

Una rotazione è un'isometria, cioè una trasformazione geometrica che sposta gli elementi in modo rigido lasciando inalterate le distanze. Per definire una rotazione abbiamo bisogno di un angolo avente un verso orario o antiorario, e di punto nel piano e di una retta nello spazio.

Procediamo con ordine e vediamo dapprima come si definisce una rotazione nel piano, per poi passare alla rotazione nello spazio. Successivamente ne elencheremo le proprietà, vedremo qual è la formula analitica che esprime una rotazione nel piano cartesiano e vi diremo cos'è la matrice di rotazione.

Rotazione nel piano

Ogni rotazione nel piano è definita da un punto , detto centro di rotazione, e da un angolo caratterizzato da un'ampiezza e da un verso, che può essere orario o antiorario.

Si dice rotazione di centro e angolo la trasformazione geometrica che a ogni punto del piano associa il punto , tale che:

- i segmenti e abbiano la stessa lunghezza;

- gli angoli e abbiano stesso verso (orario o antiorario) e stessa ampiezza.

Nella seguente immagine potete osservare due rotazioni del punto attorno ad di un angolo , precedentemente fissato in ampiezza e verso; la prima è una rotazione in senso antiorario, la seconda una rotazione in senso orario.

Rotazione in senso antiorario e in senso orario.

Rotazione di una figura geometrica nel piano

Fissati un centro di rotazione , un angolo e il verso dell'angolo , la rotazione di una figura geometrica nel piano si ottiene ruotando tutti i suoi punti mediante una rotazione di centro e angolo .

Questo in teoria, ma nella pratica sarebbe impossibile ruotare tutti i punti di una figura, dal momento che essi sono infiniti. All'atto pratico, per ruotare una figura geometrica è sufficiente ruotare i suoi elementi principali (vertici, lati o alcuni suoi punti) per poi costruire una figura congruente alla prima.

Esempio

Per fissare le idee supponiamo di voler ruotare di 60° e in senso orario un triangolo di vertici attorno al suo vertice . Dunque il centro di rotazione coincide con un vertice del triangolo , il quale rimarrà fisso.

Rotazione di un triangolo in senso orario.

Il triangolo ruotato è il triangolo di vertici ed è stato costruito ruotando i vertici e del triangolo iniziale di 60° e in senso orario attorno al punto .

Rotazione nello spazio

Una rotazione nello spazio è definita da un angolo per cui è stata fissata un'ampiezza e un verso, e da una retta , che prende il nome di asse di rotazione.

Fissato un qualsiasi punto dello spazio, la rotazione di asse e angolo associa al punto il punto tale che:

- appartenga al piano perpendicolare alla retta e passante per il punto ;

- i segmenti e abbiano la stessa lunghezza, dove è il punto di intersezione tra la retta e il piano ;

- l'angolo abbia la stessa ampiezza e lo stesso verso dell'angolo .

Rotazione nello spazio.

Tutti i solidi di rotazione sono esempi di rotazioni nello spazio. Ad esempio, il cilindro si ottiene dalla rotazione di 360° di un rettangolo attorno alla retta passante per uno dei suoi lati.

Proprietà della rotazione

1) Una rotazione è un'isometria non invertente;

2) La rotazione nel piano non ha rette unite e l'unico punto unito è il centro di rotazione;

3) Nella rotazione nello spazio l'asse di rotazione è una retta unita e tutti i punti che giacciono sull'asse di rotazione sono punti uniti.

4) Nel piano, una rotazione di 180° (in senso orario o in senso antiorario) attorno a un punto è una simmetria centrale.

5) Nello spazio, una rotazione di 180° attorno a una retta corrisponde a una simmetria assiale avente come asse di simmetria la retta .

6) La composizione di due rotazioni aventi stesso centro o stesso asse di rotazione è ancora una rotazione.

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Quanto diremo nel seguito sarà chiaro solo a chi ha già studiato la Geometria Analitica e conosce un po' di Trigonometria. Tutti gli altri possono fermarsi qui con la lettura e, volendo possono approfondire l'argomento consultando la lezione sulle trasformazioni geometriche piane.

Rotazione nel piano cartesiano

Nel piano cartesiano, le formule che descrivono una rotazione in senso antiorario di angolo attorno a un punto sono le seguenti:

Una rotazione in senso antiorario di angolo equivale a una rotazione in senso orario di angolo , quindi le formule che individuano una rotazione in senso orario di angolo attorno al punto sono:

Per le formule degli archi associati

possiamo così riscrivere le leggi della rotazione in senso orario di un angolo attorno al punto

In entrambi i casi e sono le coordinate da ottenere, mentre e sono quelle dell'equazione o del punto di partenza.

Esempio

Traslare la parabola di equazione attorno al proprio vertice di 90° in senso antiorario.

Svolgimento: le coordinate del vertice della parabola sono

Per trovare l'equazione della parabola ruotata dobbiamo usare le formule della rotazione in senso antiorario

e sostituire

Effettuiamo la sostituzione

Il coseno di 90° è 0 e il seno di 90° è 1, dunque

Ricaviamo ora i valori di e in funzione di e

e sostituiamoli nell'equazione della parabola iniziale

Tralasciando gli apici e svolgendo i conti si ottiene l'equazione della parabola ruotata

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Rotazione dello spazio euclideo in 3 dimensioni e matrice di rotazione (per studenti universitari)

Sia una retta dello spazio passante per l'origine e il versore che individua la direzione della retta.

Nello spazio euclideo in 3 dimensioni, una rotazione in senso antiorario di un angolo attorno alla retta è descritta dalla seguente matrice

la matrice è detta matrice di rotazione. Ponendo:

si ottiene la matrice che descrive una rotazione attorno all'asse x;

si ricava la matrice di rotazione attorno all'asse y;

si ottiene la matrice che descrive una rotazione attorno all'asse z.

La formula che descrive una rotazione nello spazio in senso antiorario di un angolo attorno alla retta , la cui direzione è data dal versore è la seguente

dove è la matrice di rotazione e · indica il prodotto tra matrici.