Soluzioni
  • Una rotazione è un'isometria, cioè una trasformazione geometrica che sposta gli elementi in modo rigido lasciando inalterate le distanze. Per definire una rotazione abbiamo bisogno di un angolo avente un verso orario o antiorario, e di punto nel piano e di una retta nello spazio.

    Procediamo con ordine e vediamo dapprima come si definisce una rotazione nel piano, per poi passare alla rotazione nello spazio. Successivamente ne elencheremo le proprietà, vedremo qual è la formula analitica che esprime una rotazione nel piano cartesiano e vi diremo cos'è la matrice di rotazione.

    Rotazione nel piano

    Ogni rotazione nel piano è definita da un punto O, detto centro di rotazione, e da un angolo \alpha caratterizzato da un'ampiezza e da un verso, che può essere orario o antiorario.

    Si dice rotazione di centro O e angolo \alpha la trasformazione geometrica che a ogni punto P del piano associa il punto P', tale che:

    - i segmenti OP e OP' abbiano la stessa lunghezza;

    - gli angoli \alpha e \widehat{POP'} abbiano stesso verso (orario o antiorario) e stessa ampiezza.

    Nella seguente immagine potete osservare due rotazioni del punto P attorno ad O di un angolo \alpha, precedentemente fissato in ampiezza e verso; la prima è una rotazione in senso antiorario, la seconda una rotazione in senso orario.

     

    Rotazione nel piano

     

    Rotazione di una figura geometrica nel piano

    Fissati un centro di rotazione O, un angolo \alpha e il verso dell'angolo \alpha, la rotazione di una figura geometrica nel piano si ottiene ruotando tutti i suoi punti mediante una rotazione di centro O e angolo \alpha.

    Questo in teoria, ma nella pratica sarebbe impossibile ruotare tutti i punti di una figura, dal momento che essi sono infiniti. All'atto pratico, per ruotare una figura geometrica è sufficiente ruotare i suoi elementi principali (vertici, lati o alcuni suoi punti) per poi costruire una figura congruente alla prima.

    Esempio

    Per fissare le idee supponiamo di voler ruotare di 60° e in senso orario un triangolo di vertici A, \ B, \ C attorno al suo vertice C. Dunque il centro di rotazione coincide con un vertice del triangolo (O \equiv C), il quale rimarrà fisso.

     

    Esempio di rotazione nel piano

     

    Il triangolo ruotato è il triangolo di vertici C, \ A', \ B' ed è stato costruito ruotando i vertici A e B del triangolo iniziale di 60° e in senso orario attorno al punto C.

    Rotazione nello spazio

    Una rotazione nello spazio è definita da un angolo \alpha per cui è stata fissata un'ampiezza e un verso, e da una retta r, che prende il nome di asse di rotazione.

    Fissato un qualsiasi punto P dello spazio, la rotazione di asse r e angolo \alpha associa al punto P il punto P' tale che:

    - P' appartenga al piano \omega perpendicolare alla retta r e passante per il punto P;

    - i segmenti OP e OP' abbiano la stessa lunghezza, dove O è il punto di intersezione tra la retta r e il piano \omega;

    - l'angolo \widehat{POP'} abbia la stessa ampiezza e lo stesso verso dell'angolo \alpha.

     

    Rotazione nello spazio

     

    Tutti i solidi di rotazione sono esempi di rotazioni nello spazio. Ad esempio, il cilindro si ottiene dalla rotazione di 360° di un rettangolo attorno alla retta passante per uno dei suoi lati.

    Proprietà della rotazione

    1) Una rotazione è un'isometria non invertente;

    2) La rotazione nel piano non ha rette unite e l'unico punto unito è il centro di rotazione;

    3) Nella rotazione nello spazio l'asse di rotazione è una retta unita e tutti i punti che giacciono sull'asse di rotazione sono punti uniti.

    4) Nel piano, una rotazione di 180° (in senso orario o in senso antiorario) attorno a un punto è una simmetria centrale.

    5) Nello spazio, una rotazione di 180° attorno a una retta r corrisponde a una simmetria assiale avente come asse di simmetria la retta r.

    6) La composizione di due rotazioni aventi stesso centro o stesso asse di rotazione è ancora una rotazione.

    ***

    Quanto diremo nel seguito sarà chiaro solo a chi ha già studiato la Geometria Analitica e conosce un po' di Trigonometria. Tutti gli altri possono fermarsi qui con la lettura e, volendo possono approfondire l'argomento consultando la lezione sulle trasformazioni geometriche piane.

    Rotazione nel piano cartesiano

    Nel piano cartesiano, le formule che descrivono una rotazione in senso antiorario di angolo \alpha attorno a un punto P(a,b) sono le seguenti:

    \begin{cases}x'=(x-a)\cos(\alpha)-(y-b)\sin(\alpha)+a \\ \\ y'=(x-a)\sin(\alpha) + (y-b) \cos(\alpha)+b \end{cases}

    Una rotazione in senso antiorario di angolo \alpha equivale a una rotazione in senso orario di angolo 2\pi - \alpha, quindi le formule che individuano una rotazione in senso orario di angolo \alpha attorno al punto P(a,b) sono:

    \begin{cases}x'=(x-a)\cos(2\pi - \alpha)-(y-b)\sin(2\pi - \alpha)+a \\ \\ y'=(x-a)\sin(2\pi - \alpha) + (y-b) \cos(2\pi - \alpha)+b \end{cases}

    Per le formule degli archi associati

    \\ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) \\ \\ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)

    possiamo così riscrivere le leggi della rotazione in senso orario di un angolo \alpha attorno al punto P(a,b)

    \begin{cases}x'=(x-a)\cos(\alpha)+(y-b)\sin(\alpha)+a \\ \\ y'=-(x-a)\sin(\alpha) + (y-b) \cos(\alpha)+b \end{cases}

    In entrambi i casi x' e y' sono le coordinate da ottenere, mentre x e y sono quelle dell'equazione o del punto di partenza.

    Esempio

    Traslare la parabola di equazione y=x^2-2x+3 attorno al proprio vertice di 90° in senso antiorario.

    Svolgimento: le coordinate del vertice della parabola sono

    V(1,2)

    Per trovare l'equazione della parabola ruotata dobbiamo usare le formule della rotazione in senso antiorario

    \begin{cases}x'=(x-a)\cos(\alpha)-(y-b)\sin(\alpha)+a \\ \\ y'=(x-a)\sin(\alpha) + (y-b) \cos(\alpha)+b \end{cases}

    e sostituire

    \\ \alpha \to 90^{\circ} \\ \\ a \to 1 \\ \\ b \to 2

    Effettuiamo la sostituzione

    \begin{cases}x'=(x-1)\cos(90^{\circ})-(y-2)\sin(90^{\circ})+1 \\ \\ y'=(x-1)\sin(90^{\circ}) + (y-2) \cos(90^{\circ})+2 \end{cases}

    Il coseno di 90° è 0 e il seno di 90° è 1, dunque

    \\ \begin{cases}x'=-(y-2)+1 \\ \\ y'=(x-1)+2 \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}x'=-y+3 \\ \\ y'=x+1 \end{cases}

    Ricaviamo ora i valori di x e y in funzione di x' e y'

    \begin{cases}y=3-x' \\ \\ x=y'-1 \end{cases}

    e sostiuiamoli nell'equazione della parabola iniziale

    3-x'=(y'-1)^2-2(y'-1)+3

    Tralasciando gli apici e svolgendo i conti si ottiene l'equazione della parabola ruotata

    x=-y^2+4y-3

    ***

    Per fare un ripasso di tutte le formule sulle trasformazioni geometriche piane - click!

    Rotazione dello spazio euclideo in 3 dimensioni e matrice di rotazione (per studenti universitari)

    Sia r una retta dello spazio passante per l'origine e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) il versore che individua la direzione della retta.

    Nello spazio euclideo in 3 dimensioni, una rotazione in senso antiorario di un angolo \alpha attorno alla retta r è descritta dalla seguente matrice

    R=\begin{pmatrix} v_x^2+(1-v_x^2) \cdot \cos(\alpha) & [1-\cos(\alpha)]\cdot v_x \cdot v_y-\sin(\alpha) \cdot v_z & [(1-\cos(\alpha)] \cdot v_x \cdot v_z+\sin(\alpha) \cdot v_y \\ \\ [1-\cos(\alpha)] \cdot v_x \cdot v_y+\sin(\alpha)\cdot v_z & v_y^2+(1-v_y^2)\cdot \cos(\alpha) & [1-\cos(\alpha)] \cdot y_y \cdot v_z - \sin(\alpha) \cdot v_x \\ \\ [1-\cos(\alpha)]\cdot v_x \cdot v_z - \sin(\alpha) \cdot v_y & [1-cos(\alpha)]\cdot v_y \cdot v_z+\sin(\alpha)\cdot v_x & v_z^2+(1-v_z^2)\cdot \cos(\alpha) \end{pmatrix}

    la matrice R è detta matrice di rotazione. Ponendo:

    \vec{v}=(v_x,v_y,v_z)=(1,0,0) si ottiene la matrice che descrive una rotazione attorno all'asse x;

    \vec{v}=(v_x,v_y,v_z)=(0,1,0) si ricava la matrice di rotazione attorno all'asse y;

    \vec{v}=(v_x,v_y,v_z)=(0,0,1) si ottiene la matrice che descrive una rotazione attorno all'asse z.

    La formula che descrive una rotazione nello spazio in senso antiorario di un angolo \alpha attorno alla retta r, la cui direzione è data dal versore \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) è la seguente

    \begin{pmatrix}x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = R \cdot \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}

    dove R è la matrice di rotazione e · indica il prodotto tra matrici.

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    Risposta di Galois
 
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