Soluzioni
  • La simmetria rispetto a un piano, detta anche simmetria planare, è una trasformazione geometrica dello spazio che lascia invariate le distanze e che è definita a partire da un piano, detto piano di simmetria.

    Definizione di simmetria rispetto a un piano

    Consideriamo un piano \alpha e un punto P non appartenente ad \alpha. La simmetria rispetto al piano considerato associa al punto P il punto P' tale che:

    - appartiene alla retta r passante per P e perpendicolare ad \alpha;

    - il punto M d'intersezione tra la retta r e il piano \alpha è il punto medio del segmento PP', ossia \overline{PM}=\overline{P'M}.

    Il piano \alpha prende il nome di piano di simmetria.

     

    Simmetria rispetto a un piano

    Punti simmetrici rispetto a un piano.

     

    Figure simmetriche rispetto a un piano

    Due figure geometriche nello spazio, piane o solide, si dicono simmetriche rispetto a un piano \alpha se ogni punto della prima è il simmetrico rispetto al piano di un punto della seconda, e vale anche il viceversa.

    Ciò vuol dire che per ogni punto A della prima figura esiste un punto A' appartenente alla seconda tale che:

    - i due punti giacciono su una retta perpendicolare al piano;

    - il punto di intersezione tra retta e piano è punto medio del segmento AA'.

    Nella seguente immagine potete osservare due triangoli che si corrispondono in una simmetria planare.

     

    Figure simmetriche rispetto a un piano

    Figure piane simmetriche rispetto a un piano.

     

    La seguente immagine raffigura due piramidi a base triangolare simmetriche rispetto a un piano.

     

    Solidi simmetrici rispetto a un piano

    Solidi simmetrici rispetto a un piano.

     

    Piano di simmetria di un solido

    La simmetria rispetto a un piano può anche interessare solamente i solidi, ossia ci sono solidi geometrici simmetrici rispetto a se stessi rispetto a uno o più piani.

    In particolare se esiste un piano che divide una figura solida in due porzioni che si corrispondono in una simmetria planare di piano \alpha, allora \alpha è detto piano di simmetria del solido.

    Esempi

    1) Il cubo ha 9 piani di simmetria (raffigurati nella seguente immagine); 3 di essi passano per gli assi di simmetria delle coppie di facce opposte e i restanti 6 sono i piani passanti per le diagonali delle facce opposte.

     

    Piani di simmetria di un cubo

    Piani di simmetria di un cubo.

     

    2) Il tetraedro regolare ha 4 piani di simmetria, quelli che passano per uno spigolo e per il punto medio dello spigolo opposto.

    3) L'ottaedro regolare ha 9 piani di simmetria; 3 di essi passano per le coppie di spigoli opposti e paralleli, e gli altri 6 passano per le coppie di vertici opposti e per i punti medi degli spigoli.

    4) Il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare hanno 15 piani di simmetria ciascuno, a cui appartengono le coppie di spigoli opposti e paralleli.

    5) Cilindro, cono, sfera e qualsiasi altro solido di rotazione ammettono infiniti piani di simmetria, tutti i piani passanti per l'asse di rotazione.

    Proprietà della simmetria rispetto a un piano

    1) È un'isometria invertente (o isometria inversa), infatti mantiene invariate le distanze ma cambia l'orientazione degli oggetti.

    2) È una trasformazione involutoria, cioè se viene composta con se stessa dà l'identità.

    3) Tutte le rette appartenenti al piano di simmetria e tutte le rette perpendicolari a esso sono rette unite.

    4) Ogni punto che giace sul piano di simmetria è un punto unito.

    ***

    Chi non ha ancora affrontato lo studio della Geometria Analitica dello Spazio può fermarsi qui con la lettura e, volendo, può leggere la nostra lezione sulla simmetria, dove abbiamo passato in rassegna i vari tipi di simmetrie piane.

    Formule della simmetria rispetto a un piano

    Consideriamo il sistema di riferimento tridimensionale standard Oxyz, formato da una terna di assi orientati x, \ y, \ z e perpendicolari tra loro, che si incontrano in uno stesso punto O, detto origine.

    Tali assi individuano tre piani, chiamati piani coordinati e solitamente indicati con [xy], \ [yz], \ [xz].

    1) Formule della simmetria rispetto al piano [xy]

    \begin{cases}x'=x \\ y'=y \\ z'=-z \end{cases}

    2) Formule della simmetria rispetto al piano [yz]

    \begin{cases}x'=-x \\ y'=y \\ z'=z \end{cases}

    3) Formule della simmetria rispetto al piano [xz]

    \begin{cases}x'=x \\ y'=-y \\ z'=z \end{cases}

    Esempio

    Determinare le coordinate cartesiane dei punti simmetrici di P(2,-5,8) rispetto ai tre piani coordinati.

    Svolgimento

    P'(2,-5,-8) è il simmetrico di P rispetto al piano [xy], e si ricava cambiando il segno della terza coordinata di P.

    P''(-2,-5,8) è il simmetrico di P rispetto al piano [yz], ottenuto cambiando il segno dell'ascissa di P.

    P'''(2,5,8) è il simmetrico di P rispetto al piano [xz], individuato cambiando il segno dell'ordinata di P.

    ***

    Per sapere come si determinano le coordinate cartesiane del simmetrico di un punto rispetto a un piano qualsiasi vi rimandiamo alla pagina del link.

    Risposta di Galois
 
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