Asse di simmetria di figure piane e solide: definizione e proprietà

Un asse di simmetria di una figura nel piano o nello spazio è una qualsiasi retta tale che ogni punto della figura sia il simmetrico, rispetto alla retta, di un altro punto della figura; in particolare un asse di simmetria di una figura piana la divide in parti uguali e speculari.

Nozione di asse di simmetria

Il concetto di asse di simmetria viene introdotto per definire la simmetria assiale.

Per capire cos'è un asse di simmetria consideriamo, nel piano, una retta e un punto non appartenente a essa.

Consideriamo la proiezione ortogonale di sulla retta , e chiamiamo tale punto . In altre parole tracciamo il segmento perpendicolare alla retta in modo che l'estremo giaccia sulla retta .

A questo punto prolunghiamo il segmento di un segmento con la stessa lunghezza: .

In questo modo abbiamo ottenuto il punto simmetrico del punto rispetto alla retta , che viene detta asse di simmetria.

In altri termini, dati due punti distinti e e una retta a cui entrambi non appartengono, diremo che la retta è asse di simmetria se tale retta è asse del segmento .

Asse di simmetria di due punti.

Asse di simmetria di una figura piana

Una figura geometrica piana ammette un asse di simmetria se esiste una retta che divide la figura in due parti che si corrispondono in una simmetria assiale.

In modo equivalente, diciamo che una retta è un asse di simmetria per una figura piana se ogni punto della figura è il simmetrico, rispetto alla retta , di un altro punto della figura stessa.

Simmetria di una figura piana.

Esempi

Sono esempi notevoli di assi simmetria di figure piane:

1) tutte le rette passanti per il centro di una circonferenza;

2) la retta su cui giace l'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele;

3) la retta che passa per i punti medi di base maggiore e base minore di un trapezio isoscele;

4) le rette che passano per le coppie di vertici opposti di un rombo;

5) le rette che passano per i punti medi dei lati opposti di un rettangolo.

6) un poligono regolare ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati (o i suoi vertici) e passano tutti per il centro della circonferenza inscritta (o circoscritta) al poligono. In particolare:

- se il numero dei lati è dispari (come nel triangolo equilatero, nel pentagono regolare, nell'ettagono regolare e nell'ennagono regolare), ciascuna retta passante per un vertice e per il centro della circonferenza inscritta (o circoscritta) è asse di simmetria;

- se il numero dei lati è pari (quadrato, esagono regolare, ottagono regolare, decagono regolare, dodecagono regolare), metà degli assi di simmetria passano per le coppie di vertici diametralmente opposti e l'altra metà passano per i punti medi delle coppie di lati opposti.

Asse di simmetria tra due figure piane

Una retta è asse di simmetria tra due figure piane distinte e se le due figure si corrispondono in una simmetria assiale di asse , cioè se ogni punto di è il simmetrico di un punto di e, viceversa, ogni punto di è il simmetrico di ogni punto di .

Asse di simmetria di due figure piane.

Asse di simmetria di un solido

Una retta dello spazio è asse di simmetria per un solido se esiste almeno una rotazione nello spazio di angolo attorno alla retta , con , che faccia coincidere il solido ruotato con il solido di partenza.

L'asse di simmetria di un solido viene anche detto asse di simmetria radiale e nei solidi di rotazione coincide con l'asse di rotazione.

Asse di simmetria di un cilindro.

Esempi

1) Il cilindro retto ha come asse di simmetria la retta che passa per i centri dei cerchi di base.

2) Un cono retto ha un asse simmetria, che è la retta passante per il vertice del cono e per il centro del cerchio di base.

3) Una piramide regolare ha come asse di simmetria la retta passante per il vertice esterno al piano di base e per il centro del poligono di base.

4) Ciascun prisma regolare ha come asse di simmetria la retta che passa per i centri dei poligoni di base.

5) Il cubo ha 13 assi di simmetria: 3 passano per i centri delle coppie di facce opposte, 6 passano per i punti medi di due spigoli opposti e 4 passano per le coppie di vertici opposti.

6) Ciascuna retta a cui appartiene il centro di una sfera è un suo asse di simmetria.

7) Ogni solido platonico ha più assi di simmetria; in particolare, il tetraedro regolare ha 7 assi di simmetria, cubo e ottaedro regolare ne hanno 13, icosaedro regolare e dodecaedro regolare ne hanno 31.

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