Soluzioni
  • Ciao Whitecell, un attimo di pazienza e risponderò alla tua domanda.

    Risposta di Omega
  • -Io sinceramente non sono molto sicuro di come si parta in questo tipo di esercizi, ma sostanzialmente ho compreso che non c'è un metodo fisso, cioè io devo tentare di capire in quale intervallo questo insieme potrebbe trovarsi, cercare di capire se è dotato di sup e inf (vi prego delucidatemi a riguardo, non ho ancora capito bene nella pratica cosa sono) se gli estremi sono compresi e quindi sarebbero minimo e massimo anche. è corretto?

     

    Sul fatto che non ci sia un metodo fisso...nì. Quando hai a che fare con una successione (un insieme numerabile) c'è una serie di considerazioni da mettere in atto.

    Di sicuro la prima cosa da fare è valutare la successione al primo indice, come hai giustamente fatto tu. Poi conviene eventualmente riscrivere la successione in una forma algebrica più comoda, ad esempio "spezzare" eventuali frazioni, barbatrucchi algebrici, e così via. Nel caaso che stiamo considerando non serve farlo.

    Fatto ciò è opportuno studiare la monotonia (cresce/decresce/cresce e decresce) e calcolare il limite per n tendente ad infinito. Tieni conto che il limite non potrà essere massimo o minimo, ma solo - eventualmente - sup o inf della successione, perchè non appartiene alla successione. 

    Guarda inoltre se la successione è limitata oppure no.

    Con queste considerazioni il semplice ragionamento ti dovrebbe portare alla soluzione del problema.

    --------------------------------------------------

    Di conseguenza io ragiono partendo così:

    per n=0 l'insieme non è definito quindi ci troviamo in N* di conseguenza se per 0 l'insieme non vale ed essendo quest'ultimo in N, il minor valore che l'insieme può accettare è 1 e di conseguenza

    A=3

    -che teoricamente sarebbe l'inf? ma è anche minimo?

    Osserva che se 3 è inf allora è anche minimo perchè appartiene alla successione.

    A occhio e croce la successione sembrerebbe essere monotona non decrescente (decresce o resta uguale). Per provarlo, dobbiamo far vedere che

    a_n \leq a_{n+1} 

    che vuol dire: è vero che (?)

    n+\frac{2}{n}\leq (n+1)+\frac{2}{n+1}

    cioè

    \frac{2}{n}\leq 1+\frac{2}{n+1}

    facendo i calcoli

    n^2+n-2\geq 0

    che è sempre verificata, quindi la successione è effettivamente monotona non decrescente.

    Dato che cresce o resta uguale, 3 è evidentemente inf e minimo.

    Per quanto riguarda il sup, calcoliamo il limite per n tendente a infinito, che vale

    \lim_{n\to +\infty}{n+\frac{2}{n}}=+\infty

    Quindi il sup è +∞.

    -------------------------------------------------

    -Di solito in altri esercizi simili dopo aver ragionato sul minor valore che l'insieme può accettare, ragiono sul massimo ipotizzando un valore tanto grande che chiamo "∞" cioè per un valore tanto grande, vedere quanto vale l'insieme... e di solito riesco anche a trovare il sup così, ma qua non saprei come fare.

     

    Questo modo di ragionare il più delle volte funziona, ma tradisce quando si ha a che fare con successioni oscillanti.

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    -Ed infine per capire se sono anche minimo o massimo, non so proprio farlo senza usare le derivate, ma il professore ci ha detto che per il momento vuole che usiamo questi ragionamenti, senza derivate e marchingegni vari.

    Quindi sostanzialmente la mia domanda si articola in:

    -il sup e l'inf esattamente cosa sono? (gli estremi di un intervallo entro il quale un insieme è racchiuso?)

    -il minimo e il massimo cosa sono? (gli estremi di quell'intervallo entro il quale l'insieme e racchiuso, con estremi inclusi? quindi intervallo compatto?)

    -Il tutto relativo all'esercizio come si fa?

    Scusate per l'essere prolisso ma ci tenevo a spiegare bene; sostanzialmente comunque la domanda è una, cioè spero di non doverne aprire altre 2 per capire la teoria dalla pratica.

    Per le domande di tipo teorico, ti consiglio la lettura di questo articolo. Potrebbero esserti utili anche quelli di questa sezione.

    Per le altre domande credo di aver già risposto poche righe sopra :)

    Fammi sapere se c'è qualcosa che non va.

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
  • io voglio fare l'esame di analisi con te! XD l'esercizio è riuscito, nel senso che i risultati sono quelli del libro, però non mi sono chiare alcune cose, cioè in teoria mi è tutto chiaro, in pratico no.

    -Quando hai posto che la successione deve essere maggiore di an+1, questo è un procedimento che posso applicare a qualsiasi esercizio per vedere la monotonia della funzione?

    -poi la disequazione non l'ho capita, cioè io svolgendo i calcoli mi viene diversamente cioè posta la tua disequazione porto n all'altro membro e diventa così no?

    \frac{2}{n}â¦(n+1)+\frac{2}{n+1}-n

    per poi svolgere i calcoli

    etc? cioè, ok posto che sono probabilmente una capra, non ho davvero capito i passaggi nella disequazione che hai fatto.

    -questo era per quanto riguarda l'inf, per quanto invece concerne il sup, posso come metodo da tenere in mente, studiare sempre il limite della successione e di conseguenza il valore che mi viene sarà sup, sia se la succesione converge che se diverge?

    -+oo non può essere massimo di una fuzione vero? perchè con +oo la funzione non è limitata giusto?

     

     

    Risposta di WhiteCell
  • aspetta no scusami, ho scritto male col tex, volevo dire, per quanto riguarda la disequazione portando n dall'altra parte verrebbe

    \frac{2}{n}â¦(n+1)+\frac{2}{n+1}-n

     

    Risposta di WhiteCell
  • Grazie!

    Per la monotonia, puoi fare così, ma è risolutivo solamente nei casi in cui la funzione è effettivamente monotona (crescente o decrescente, a seconda dei casi devi rispettivamente porre \leq oppure \geq).

    Per la disequazione, ho semplicemente saltato un paio di passaggi, ma dovrebbe essere corretta. Ricorda che n è un numero intero positivo, quindi si può semplificare il denominatore!

    Il limite è il sup soltanto se la successione è crescente. Se invece è decrescente il limite è l'inf. Se la successione non è crescente né decrescente allora non si può dire nulla a priori sul limite...

    E...No, +oo non può essere massimo!

    Risposta di Omega
  • il text edit non mi fa mettere il minore uguale dopo 2/n in poche parole volevo scrivere 2/n≦(n+1)+2/(n+1)-n

    scusatemi ancora, ma il tex non mi considerava il ≦

    Risposta di WhiteCell
  • prova con 

    \leq

    per il minore uguale,

    \geq

    per il maggiore uguale

    Sì comunque, la disequazione è la stessa...

    Risposta di Omega
  • Dubbio:

    quando calcoliami il limite per n->+00 stiamo studiando se esiste un asintoto orizzontale e quindi se è limitata superiormente giusto? ma dalle mie reminescenze di scuole superiori ricordo che quando usciva un numero finito voleva dire che la funzione era dotata di asintoto orizzontale e quindi limitata dalla retta di equazione y=k, ma se mi esce dallo studio del limite il +oo non vuol dire invece che la funzione non ha appunto limite e quindi non ha sup? scusa le continue domande, ma la matematica mi piace capirla anche se a ingegneria serve più applicarla.

    Schema logico per questo tipo di esercizi:

    -cercare di ricondurre la succesione ad una forma più maneggevole

    -capire qual è il più piccolo valore che può assumere (inf)

    -studiare la monotonia della successione (crescente ≦, decrescente≧)

    -se la disequeazione "funziona" il valore ottenuto dal ragionamento è minimo  altrimenti no

    -studiare il lim per x->+oo (anche meno infinito?) per capire se è dotata di massimo, nel caso la succesione diverga non esiste massimo, altrimenti sì

    Correggimi se sbaglio

    Risposta di WhiteCell
  • "ma la matematica mi piace capirla anche se a ingegneria serve più applicarla."

    e fai molto bene!

    Per quanto riguarda il sup, hai letto l'articolo che ti ho suggerito? :) 

    Il sup esiste sempre e può tranquillamente essere +oo (oppure un numero finito), mentre non sempre esiste il massimo. +oo non è il massimo di un insieme semplicemente perchè non può appartenere all'insieme, non è un numero reale...

     

    "-se la disequeazione "funziona" il valore ottenuto dal ragionamento è minimo  altrimenti no"

    Altrimenti nel caso in cui la successione fosse decrescente il primo numero sarebbe sup e massimo.

    Al limite per n tendente a +oo  se la successione fosse decrescente troveresti l'inf (che però non sarebbe minimo)

    Il discorso invece non vale per le successioni non monotone.

    Risposta di Omega
  • ok grazie mille!

    Risposta di WhiteCell
 
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