Soluzioni
  • Il principio del terzo escluso stabilisce che una proposizione e la sua negazione hanno valore di verità opposto, cioè se abbiamo una situazione che prospetta due vie, di cui una è negazione dell'altra, allora una è vera e l'altra è falsa e non esiste una terza soluzione.

    Da qui il nome di principio del terzo escluso, conosciuto anche con la locuzione latina tertium non datur (una terza cosa non è data).

    Esempi

    - Oggi piove oppure oggi non piove;

    - Gauss è un matematico oppure Gauss non è un matematico;

    - Giovanni oggi è andato a scuola oppure Giovanni oggi non è andato a scuola;

    sono tutti esempi di utilizzo del principio del terzo escluso.

    Principio del terzo escluso e connettivi logici

    In generale, se p è una qualsiasi proposizione matematica e \overline{p} la sua negazione, il principio del terzo escluso afferma che:

    - se p è vera, allora \overline{p} è falsa;

    - se p è falsa, allora \overline{p} è vera.

    In altri termini il principio del terzo escluso stabilisce che una proposizione è vera, oppure è vera la sua negazione.

    Usando i connettivi logici, la formula che esprime il principio del terzo escluso è la seguente

    \models (p \vee \overline{p})

    dove \models è il simbolo che indica una tautologia, vale a dire che p \vee \overline{p} è un enunciato sempre vero, e il suo valore di verità non dipende dal valore di verità dell'enunciato p

    Tavola di verità del principio del terzo escluso

    Per costruire la tavola di verità del principio del terzo escluso disegniamo una tabella con tre colonne

    \begin{array}{|c|c|c|} \cline{1-3} p & \overline{p} & p \vee \overline{p} \\ \cline{1-3} & & \\ \cline{1-3} & & \\ \cline{1-3} \end{array}

    Nella prima colonna riportiamo i valori di verità della proposizione p che può essere vera (V) oppure falsa (F)

    \begin{array}{|c|c|c|} \cline{1-3} p & \overline{p} & p \vee \overline{p} \\ \cline{1-3} V & & \\ \cline{1-3} F & & \\ \cline{1-3} \end{array}

    La seconda colonna deve contenere i valori di verità di \overline{p}, che è falsa se p è vera, vera se p è falsa.

    \begin{array}{|c|c|c|} \cline{1-3} p & \overline{p} & p \vee \overline{p} \\ \cline{1-3} V & F & \\ \cline{1-3} F & V & \\ \cline{1-3} \end{array}

    Infine, un enunciato composto con il connettivo logico \vee è vero se almeno uno dei due enunciati di partenza è vero, quindi p \vee \overline{p} è vero se almeno uno tra gli enunciati p e \overline{p} è vero. Alla luce di ciò possiamo completare la terza colonna della tavola di verità

    \begin{array}{|c|c|c|} \cline{1-3} p & \overline{p} & p \vee \overline{p} \\ \cline{1-3} V & F & V \\ \cline{1-3} F & V & V \\ \cline{1-3} \end{array}

    la quale conferma che il principio del terzo escluso è una tautologia.

    Principio del terzo escluso e principio di bivalenza

    Spesso si tende a confondere il principio del terzo escluso col principio di bivalenza, secondo cui:

    una proposizione o è vera o è falsa

    In altri termini il principio di bivalenza stabilisce che a una proposizione è possibile attribuire un unico valore di verità (V o F).

    Ciò non coincide con quanto afferma il principio del terzo escluso, infatti esso asserisce che:

    se una proposizione è vera allora la sua negazione è falsa;
    se una proposizione è falsa allora la sua negazione è vera.

    In altre parole il principio del terzo escluso stabilische che una tra la proposizione e la sua negazione deve essere vera.

    Principio del terzo escluso nelle dimostrazioni

    Il principio del terzo escluso è il ragionamento su cui si basano le dimostrazioni per assurdo, dove per stabilire la validità di una certa tesi T la si nega, ossia si assume come vera \overline{T} con lo scopo di giungere a un risultato in contrasto con l'ipotesi o con proprietà già dimostrate.

    Nelle dimostrazioni per assurdo, assumendo come vera \overline{T} segue un assurdo, motivo per cui \overline{T} è falsa e quindi, per il principio del terzo escluso, T deve essere necessariamente vera.

    Per approfondire questo argomento potete leggere la nostra pagina sulla dimostrazione matematica.

    ***

    Altri ragionamenti logici studiati in logica proposizionale sono:

    - il modus ponens

    - il modus tollens

    che abbiamo spiegato dettagliatamente nelle pagine dei rispettivi link. ;)

    Risposta di Galois
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