Equazioni equivalenti

Due equazioni equivalenti sono equazioni che ammettono le stesse soluzioni, ossia che presentano lo stesso insieme soluzione; la nozione di equivalenza tra equazioni consente di formulare i due principi di equivalenza delle equazioni.

Come stabilire se due equazioni sono equivalenti

Quando siamo di fronte a due (o più) equazioni, e dobbiamo stabilire se esse sono equivalenti, dobbiamo ovviamente risolverle in modo da determinarne le soluzioni, per poi confrontarle.

Se le soluzioni sono le stesse allora siamo di fronte ad equazioni equivalenti, in caso contrario no.

Ad esempio le due equazioni di primo grado:

sono equivalenti in quanto ammettono ammettono come unica soluzione

Al contrario le seguenti equazioni

non sono equivalenti, in quanto la prima (equazione di secondo grado) ha come soluzioni

mentre la seconda (equazione di grado superiore a due risolvibile con la legge di annullamento del prodotto) ammette le tre soluzioni:

Utilità della nozione di equazioni equivalenti

La definizione di equazioni equivalenti potrebbe sembrare astratta, ma ha una grande utilità pratica nella risoluzione delle equazioni di ogni tipo. Essa infatti ci permette di formulare i due principi di equivalenza delle equazioni.

Richiamiamo brevemente i principi di equivalenza. Essi stabiliscono che:

- sommando o sottraendo una stessa quantità a entrambi i membri di un'equazione, in modo da non alterarne l'insieme di esistenza delle soluzioni, otteniamo un'equazione equivalente alla precedente;

- moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per una stessa quantità diversa da zero, in modo da non alterarne l'insieme di esistenza delle soluzioni, otteniamo un'equazione equivalente alla precedente.

La nozione di equazioni equivalenti è dunque ciò che ci permette di effettuare i passaggi nella risoluzione delle equazioni.

Ad ogni passaggio infatti scriviamo a tutti gli effetti una nuova equazione; ma se le operazioni svolte sono tra quelle consentite dai due principi di equivalenza, allora non cambia nulla perché le equazioni dei vari passaggi saranno equivalenti e dunque avranno le medesime soluzioni. :)

***

Con questo è tutto: per tutti gli approfondimenti del caso vi rimandiamo alle nostre lezioni sulle equazioni. ;)