Soluzioni
  • Il principio di identità per i polinomi afferma che:

    due polinomi ridotti in forma normale sono identici se e solo se hanno lo stesso grado ed i coefficienti dei termini dello stesso grado sono uguali.

    Prendiamo, ad esempio, i due polinomi:

    P(x)=3x^3+2x^2+5x

    Q(x)=x^4+3x^3+2x^2+5x

    Possiamo concludere immediatamente che essi non sono identici in quanto il grado del polinomio P(x) è 3 mentre quello del polinomio Q(x) è 4, nonostante i coefficienti dei termini di terzo, secondo e primo grado dei due polinomi siano uguali.

    Mentre i polinomi:

    P(a)=7a^3-3a^2+2a+a^2-5a+3

    Q(a)=7a^3-2a^2-3a+3

    sono identici in quanto sono entrambi di terzo grado e, dopo aver scritto P(a) in forma normale (sommando i termini simili) si ha:

    P(a)=7a^3-2a^2-3a+3

     

    Ora che abbiamo capito cosa afferma il principio di identità tra polinomi diamone una formulazione più matematica: siano P(x) e Q(x) due polinomi nella variabile x di grado n maggiore di 1, ovvero

    P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_2x^2+a_1x+a_0

    Q(x)=b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + b_2x^2+b_1x+b_0

    Diremo che P(x) e Q(x) sono identici se e solo se \foral i \in \{0,1,...,n\}: \ a_i=b_i

     

    Esempio di applicazione del principio di identità dei polinomi.

    Per quali valori dei parametri A, B e C i due polinomi

    P(x)=x^3+4x^2-x+1

    Q(x)=Cx^4+(A+B)x^3 + 2Ax^2-x+1

    sono identici?

    Come più volte ribadito dobbiamo richiedere che i coefficienti dei termini dello stesso grado siano uguali. Quindi dobbiamo imporre che sia:

    \begin{cases}C=0 \\ A+B=1 \\ 2A=4 \end{cases}

    da cui, risolvendo questo questo sistema lineare si ottiene:

    \begin{cases}C=0 \\ A=2 \\ B=-1 \end{cases}

    Risposta di Omega
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