Sostegno di uno spazio vettoriale e prodotto esterno

Per capire cosa sia un vettore libero bisogna prima sapere cosa significa che due vettori applicati sono equipollenti, probabilmente lo sai già, ma scrivo lo stesso la definizione

Due vettori (A,B) e (A',B'), si dicono equipollenti se

A=A' e B=B'

oppure se A≠A', B≠B', ma

1) la retta che congiunge A e B è parallela a quella che congiunge A' B'.

2) Il segmento AB è congruente ad A'B'.

3) I vettori applicati AB e A'B' hanno lo stesso verso.

Dato un vettore applicato (A,B) consideriamo la famiglia di tutti i vettori equipollenti ad esso, questa famiglia si indica con il simbolo

e si dice vettore libero. Ovviamente per disegnare un vettore libero non puoi certo disegnare tutti i vettori equipollenti, infatti sono infiniti, ma sicuramente puoi sceglierne uno che rappresenti la classe di equivalenza.

Passiamo alla definizione. V è l'insieme che consideriamo per definire lo spazio vettoriale, e prende il nome di sostegno.

La legge di composizione è esterna perché un'entrata dell'operazione non viene presa in V, ma nel campo K, dunque usciamo da V per prendere gli scalari, di conseguenza chiamiamo tale legge esterna.

V, nel caso in cui il prodotto esterno sia definito come nella definizione, è detto spazio vettoriale sinistro perché il prodotto esterno è definito su K x V, si direbbe destro se il prodotto esterno fosse definito su V x K.

Quindi destro o sinistro dipendono solo da lato che scegliamo per fare il prodotto tra K e V.

Alpha.

Non cambierebbe nulla, perchè il prodotto per uno scalare è simmetrico. Cioè, se e sono rispettivamente uno scalare e un vettore:

PS: dacci pure del tu!

Namasté - Agente