Soluzioni
  • Il triangolo di Tartaglia è una tabella a forma di triangolo composta da numeri naturali, dove ogni numero è un particolare coefficiente binomiale.

    Tale tabella ha infiniti elementi e, come vedremo tra poco, ciascuna riga si ottiene dalla precedente seguendo una semplicissima costruzione.

    La principale applicazione del triangolo di Tartaglia è la seguente: grazie ad esso possiamo trovare lo sviluppo di una qualsiasi potenza di binomio, infatti gli elementi dell' n-esima riga del triangolo, con n numero naturale maggiore o uguale ad 1, corrispondono ai coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio (a+b)n-1.

    Tra poco avremo modo di approfondire anche questo aspetto e di fornire svariati esempi ma, nel frattempo, ecco come appare un triangolo di Tartaglia formato da 6 righe.

    \begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & & & 1\\ & & & & & & & & 1 & & 1\\ & & & & & & & 1 & & 2 & & 1\\ & & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1\\ & & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1\\ & & & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1\end{array}

     

    Costruzione del triangolo di Tartaglia

    Per scrivere gli elementi che formano il triangolo di Tartaglia si procede come segue:

    - sul vertice alto e lungo i due lati esterni del triangolo si riportano tutti numeri 1.

    - ogni elemento interno di ciascuna riga si ottiene dalla somma dei due numeri della riga precedente che stanno sopra di esso.

    Osservando la seguente figura sarà tutto più chiaro:

    Triangolo di Tartaglia

     

    Qual è la riga successiva?

    Il primo numero a sinistra è 1;

    il secondo è dato dalla somma dei due numeri che stanno sopra di esso, ovvero 1+4=5;

    il terzo numero si ottiene dalla somma 4+6=10;

    .. e così via fino ad arrivare all'ultima posizione che sarà occupata dal numero 1.

    In definitiva, gli elementi della riga successiva sono: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

    Com'è facile intuire la costruzione non avrà mai fine, possiamo cioè procedere all'infinito.

     

    Applicazione del triangolo di Tartaglia

    Ora che abbiamo capito come si ricavano gli elementi del triangolo di Tartaglia, vediamo come utilizzarlo per costruire lo sviluppo di una potenza di binomio.

    Come anticipato, gli elementi di ogni riga del triangolo coincidono con i coefficienti di un particolare sviluppo della potenza di un binomio.

    In particolare:

    - la prima riga del triangolo è formata dai coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio (a+b)0;

    - la seconda riga contiene i coefficienti dello sviluppo della potenza (a+b)1;

    - la terza riga ha come elementi i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio (a+b)2;

    e così via..

    In generale, la (n+1)-esima riga del triangolo contiene i coefficienti dello sviluppo della potenza (a+b)n.

     

    Esempio di applicazione del triangolo di Tartaglia

    A titolo di esempio calcoliamo la potenza del binomio (x+y)5.

    Anzitutto scriviamo la parte letterale di ogni monomio che forma lo sviluppo, mettendo dei puntini al posto del coefficienti.

    \begin{align*}(x+y)^5  = & \ ... \ x^5y^0+... \ x^4y+... \ x^3y^2+... \ x^2y^3+... \ xy^4+... \ x^0y^5 \\ & \\ = & \ ... \ x^5+... \ x^4y+... \ x^3y^2+... \ x^2y^3+... \ xy^4+... \ y^5 \end{align*}

    Affinché il tutto funzioni correttamente occorre scrivere la parte letterale di ogni monomio dello sviluppo come fatto poc'anzi, ossia facendo in modo che nel passaggio da un monomio al successivo le potenze di un fattore crescano, le potenze dell'altro diminuiscano e la somma degli esponenti sia sempre uguale all'esponente della potenza del binomio.

    Fatto ciò, per trovare i coefficienti che andranno a prendere il posto dei puntini ricorriamo al triangolo di Tartaglia. Nello specifico, i coefficienti dello sviluppo della potenza (x+y)5 saranno sulla sesta riga del triangolo.

    \begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & & & 1\\ & & & & & & & & 1 & & 1\\ & & & & & & & 1 & & 2 & & 1\\ & & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1\\ & & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1\\ & & & & {\color{red}1} & & {\color{red}5} & & {\color{red}10} & & {\color{red}10} & & {\color{red}5} & & {\color{red}1}\end{array}

    Riportandoli in modo ordinato otterremo proprio lo sviluppo di (x+y)5:

    \begin{align*}(x+y)^5  = & \ ... \ x^5+... \ x^4y+... \ x^3y^2+... \ x^2y^3+... \ xy^4+... \ y^5 \\ & \\ = & \ x^5+ 5 x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5 xy^4+y^5 \end{align*}

    Per approfondire e per altri esempi: potenza di un binomio - click!

     

    Proprietà del triangolo di Tartaglia

    Le proprietà di cui gode il triangolo di Tartaglia sono davvero tante; qui di seguito riportiamo quelle più famose.

    Vi anticipiamo che alla fine dell'elenco rimarrete senza parole e sarà divertente provare a verificarle.

     

    Elementi del triangolo come coefficienti binomiali

    Ogni elemento del triangolo di Tartaglia si può scrivere come un coefficiente binomiale

    \dbinom{n-1}{k-1}

    dove al posto di n sostituiremo il numero della riga in cui si trova, ed al posto di k sostituiremo il numero della posizione di ciasun elemento all'interno di quella specifica riga.

    Ad esempio il terzo elemento della quinta riga sarà dato dal coefficiente binomiale

    \dbinom{5-1}{3-1}=\dbinom{4}{2}=\frac{4!}{2! \cdot (4-2)!}=\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6

    Verifichiamolo!

    \begin{array}{cccccccccccccc} & & & & & & & & & 1\\ & & & & & & & & 1 & & 1\\ & & & & & & & 1 & & 2 & & 1\\ & & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1\\ & & & & & 1 & & 4 & & {\color{red}6} & & 4 & & 1\end{array}

     

    Simmetria del triangolo di Tartaglia

    Il triangolo di Tartaglia è simmetrico rispetto alla sua altezza. Infatti se si traccia l'altezza del triangolo si può osservare che i vari numeri si corrispondono per simmetria assiale.

    Simmetria triangolo Tartaglia

     

    Somma e differenza degli elementi di ogni riga

    La somma degli elementi dell'n-esima riga del triangolo di Tartaglia, con n che varia nell'insieme dei numeri naturali ed n≥1, coincide con la potenza 2n-1.

    \begin{array}{cccccccccccccccccc} & & & & & & & & & {\color{blue}1} & = & 1 & = & 2^0\\ & & & & & & & & {\color{blue}1} & + & {\color{blue}1}& = & 2 & = & 2^1\\ & & & & & & & {\color{blue}1} & + & {\color{blue}2} & + & {\color{blue}1}& = & 4 & = & 2^2\\ & & & & & & {\color{blue}1} & + & {\color{blue}3} & + & {\color{blue}3} & + & {\color{blue}1} & = & 8 & = & 2^3\\ & & & & & {\color{blue}1} & + & {\color{blue}4} & + & {\color{blue}6} & + & {\color{blue}4} & + & {\color{blue}1} & = & 16 & = & 2^4\end{array}

    Invece in ciascuna riga la somma dei numeri di posto dispari meno la somma dei numeri di posto pari dà sempre zero; ovviamente fa eccezione la prima riga che è formata da un solo elemento.

    \begin{array}{cccccccccccccccccc} & & & & & & & & & {\color{blue}1} & \\ & & & & & & & & {\color{blue}1} & - & {\color{blue}1}& = & 0\\ & & & & & & & {\color{blue}1} & - & {\color{blue}2} & + & {\color{blue}1}& = & 0\\ & & & & & & {\color{blue}1} & - & {\color{blue}3} & + & {\color{blue}3} & - & {\color{blue}1} & = & 0\\ & & & & & {\color{blue}1} & - & {\color{blue}4} & + & {\color{blue}6} & - & {\color{blue}4} & + & {\color{blue}1} & = & 0\end{array}

     

    Identità della mazza da hockey

    Partendo da un qualsiasi 1 che si trova su un lato del triangolo di Tartaglia e sommando i numeri della rispettiva diagonale, il risultato della somma sarà il numero che si trova nella posizione adiacente alla riga sottostante. Tale proprietà è detta identità della mazza da hockey perché unendo tali numeri con dei segmenti si viene a formare un disegno che ricorda proprio una mazza da hockey. ;)

    Somma diagonali triangolo di Tartaglia

     

    Numeri di Fibonacci nel triangolo di Tartaglia

    Sommando i numeri delle diagonali del triangolo di Tartaglia come mostrato nell'immagine seguente, si ottiene la successione di Fibonacci.

    Numeri di Fibonacci sul triangolo di Tartaglia

     

    Potenze di 11

    Pensando ai numeri delle prime cinque righe del triangolo di Tartaglia come cifre di un numero, tali righe corrispondono alle prime cinque potenze di 11, infatti

    1=11^0, \quad 11 = 11^1, \quad 121=11^2, \quad 1331=11^3, \quad 14641=11^4

    Le potenze successive di 11 si ottengono aggiungendo uno zero prima di ogni elemento della riga formato da una sola cifra e addizionando in modo opportuno.

    Ad esempio, visto che la riga successiva del triangolo di Tartaglia è 1, 5, 10, 10, 5, 1 per ottenere la potenza 115:

    aggiungiamo uno zero prima ci ciascun numero formato da una sola cifra: 01, 05, 10, 10, 05, 01;

    fatto ciò incolonniamo i numeri come segue e sommiamo come in una normale addizione in colonna.

    \begin{array}{ccccccc}0 & 1 \\ & 0 & 5 \\ & & 1 & 0 \\ & & & 1 & 0 \\ & & & & 0 & 5 \\ & & & & & 0 & 1 \\ \cline{1-7} & 1 & 6 & 1 & 0 & 5 & 1\end{array}

    Il risultato ottenuto: 161051 è proprio 115.

     

    È davvero tutto! Alla prossima! ;)

    Risposta di Galois
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