Soluzioni
  • Il triangolo di Tartaglia è una tabella di forma triangolare composta da numeri naturali, dove ogni numero è un particolare coefficiente binomiale. Tale tabella ha infiniti elementi, e ciascuna riga si ottiene dalla precedente disponendo 1 agli estremi e sommando le coppie di termini della riga sovrastante.

    La principale applicazione del triangolo di Tartaglia riguarda lo sviluppo di una qualsiasi potenza di binomio, infatti gli elementi dell'n-esima riga del triangolo, con n numero naturale maggiore o uguale ad 1, corrispondono ai coefficienti dello sviluppo della potenza di binomio (a+b)^{n-1}.

    Tra poco avremo modo di approfondire questo aspetto e vedremo svariati esempi ma, nel frattempo, ecco come si presenta un triangolo di Tartaglia formato da 6 righe.

    \begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & & & 1\\ & & & & & & & & 1 & & 1\\ & & & & & & & 1 & & 2 & & 1\\ & & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1\\ & & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1\\ & & & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1\end{array}

    Costruzione del triangolo di Tartaglia

    Per scrivere gli elementi che formano il triangolo di Tartaglia si procede nel modo seguente:

    - lungo i due lati del triangolo, esclusa la riga che ne forma la base, e nel vertice alto si collocano degli 1.

    - ogni elemento interno di ciascuna riga si ottiene dalla somma dei due numeri della riga precedente, situati al di sopra di esso.

    Osservando la seguente figura risulterà tutto più chiaro:

     

    Triangolo di Tartaglia

    Costruzione del triangolo di Tartaglia.

     

    Quali sono gli elementi della riga successiva?

    Il primo numero a sinistra è 1.

    Il secondo è dato dalla somma dei due numeri che stanno al di sopra di esso, ossia 1+4=5.

    Il terzo numero si ottiene dalla somma 4+6=10;

    ... E così via fino ad arrivare all'ultima posizione, che sarà occupata da un 1.

    In definitiva gli elementi della riga successiva sono: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

    Come si intuisce facilmente, la costruzione può procedere all'infinito.

    Applicazione del triangolo di Tartaglia: potenze di binomi

    Ora che abbiamo capito come si ricavano gli elementi del triangolo di Tartaglia, vediamo come utilizzarlo per determinare lo sviluppo di una potenza di binomio.

    Consideriamo a titolo esemplificativo il binomio (a+b). Gli elementi di ogni riga del triangolo di Tartaglia coincidono con i coefficienti di un particolare sviluppo della potenza del binomio: più precisamente, la riga n contiene i coefficienti dello sviluppo della potenza (a+b)^{n-1}

    \mbox{Riga }n\ \longleftrightarrow\ (a+b)^{n-1}

    In particolare:

    - la riga 1 del triangolo è formata dai coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio (a+b)^0;

    - la riga 2 contiene i coefficienti dello sviluppo della potenza (a+b)^1;

    - la riga 3 ha come elementi i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio (a+b)^2;

    e così via.

    Esempio di applicazione del triangolo di Tartaglia

    A titolo di esempio calcoliamo la potenza del binomio (x+y)^5.

    Innanzitutto scriviamo la parte letterale di ogni monomio che costituisce lo sviluppo, mettendo dei puntini al posto del coefficienti.

    (x+y)^5  = \ ... \ x^5y^0+... \ x^4y^1+... \ x^3y^2+... \ x^2y^3+... \ x^1y^4+... \ x^0y^5 \\ \\ =  \ ... \ x^5+... \ x^4y+... \ x^3y^2+... \ x^2y^3+... \ xy^4+... \ y^5

    Affinché il tutto funzioni correttamente occorre scrivere la parte letterale di ogni monomio dello sviluppo come abbiamo fatto nel primo passaggio, ossia:

    - decrementando gli esponenti delle potenze di un fattore e al contempo incrementando le potenze dell'altro;

    - facendo in modo che la somma degli esponenti sia sempre uguale all'esponente della potenza del binomio.

    Fatto ciò, per trovare i coefficienti da inserire al posto dei puntini ricorriamo al triangolo di Tartaglia. Nello specifico i coefficienti dello sviluppo della potenza (x+y)^5 sono dati dalla sesta riga del triangolo.

    \begin{array}{ccccccccccccccc} & & & & & & & & & 1\\ & & & & & & & & 1 & & 1\\ & & & & & & & 1 & & 2 & & 1\\ & & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1\\ & & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1\\ & & & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1\end{array}

    Riportandoli in modo ordinato otteniamo proprio lo sviluppo di (x+y)^5

    (x+y)^5  = \ ... \ x^5+... \ x^4y+... \ x^3y^2+... \ x^2y^3+... \ xy^4+... \ y^5 \\ \\ = \ x^5+ 5 x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5 xy^4+y^5

    Per approfondire e per altri esempi: potenza di un binomio - click!

    Proprietà del triangolo di Tartaglia

    Le proprietà di cui gode il triangolo di Tartaglia sono davvero tante, quindi ci limitiamo a quelle più comunemente usate. Vi anticipiamo che alla fine dell'elenco rimarrete senza parole e che sarà divertente provare a verificarle. ;)

    Elementi del triangolo come coefficienti binomiali

    Ogni elemento del triangolo di Tartaglia si può esprimere mediante un opportuno coefficiente binomiale

    \dbinom{n-1}{k-1}

    dove n è il numero della riga e k è la posizione all'interno della riga.

    Ad esempio il terzo elemento della quinta riga è dato dal coefficiente binomiale:

    \dbinom{5-1}{3-1}=\dbinom{4}{2}=\frac{4!}{2! \cdot (4-2)!}=\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6

    e infatti, se lo ricaviamo con la costruzione manuale del triangolo di Tartaglia

    \begin{array}{cccccccccccccc} & & & & & & & & & 1\\ & & & & & & & & 1 & & 1\\ & & & & & & & 1 & & 2 & & 1\\ & & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1\\ & & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1\end{array}

    vediamo che il coefficiente in posizione (5,3) è effettivamente 6.

    Simmetria del triangolo di Tartaglia

    Il triangolo di Tartaglia è simmetrico rispetto all sua altezza, infatti se si traccia l'altezza del triangolo si può osservare che i vari numeri si corrispondono per simmetria assiale.

     

    Simmetria triangolo Tartaglia

    Simmetria del triangolo di Tartaglia.

     

    Somma e differenza degli elementi di ogni riga

    Dato un qualsiasi numero naturale positivo n\in\mathbb{N} con n\geq 1, la somma degli elementi della riga n del triangolo di Tartaglia coincide con la potenza 2^{n-1}.

    \begin{array}{cccccccccccccccccc} & & & & & & & & & 1 & = & 1 & = & 2^0\\ & & & & & & & & 1 & + & 1& = & 2 & = & 2^1\\ & & & & & & & 1 & + & 2 & + & 1& = & 4 & = & 2^2\\ & & & & & & 1 & + & 3 & + & 3 & + & 1 & = & 8 & = & 2^3\\ & & & & & 1 & + & 4 & + & 6 & + & 4 & + & 1 & = & 16 & = & 2^4\end{array}

    Inoltre in ciascuna riga la somma dei numeri di posto dispari meno la somma dei numeri di posto pari è sempre zero; ovviamente fa eccezione la prima riga, che è formata da un solo elemento.

    \begin{array}{cccccccccccccccccc} & & & & & & & & & 1 & \\ & & & & & & & & 1 & - & 1& = & 0\\ & & & & & & & 1 & - & 2 & + & 1& = & 0\\ & & & & & & 1 & - & 3 & + & 3 & - & 1 & = & 0\\ & & & & & 1 & - & 4 & + & 6 & - & 4 & + & 1 & = & 0\end{array}

    Identità della mazza da hockey

    Partendo da un qualsiasi 1 situato su un lato del triangolo di Tartaglia, se si addizionano i numeri della rispettiva diagonale si ottiene una somma uguale al numero situato nella posizione adiacente alla riga sottostante.

    Tale proprietà è detta identità della mazza da hockey perché, unendo tali numeri con dei segmenti, si viene a formare un disegno che ricorda proprio una mazza da hockey. ;)

     

    Somma diagonali triangolo di Tartaglia

    Triangolo di Tartaglia e identità della mazza da hockey.

     

    Numeri di Fibonacci nel triangolo di Tartaglia

    Sommando i numeri delle diagonali del triangolo di Tartaglia come mostrato nella seguente immagine, si ottiene la successione di Fibonacci.

     

    Numeri di Fibonacci sul triangolo di Tartaglia

    Triangolo di Tartaglia e successione di Fibonacci.

     

    Potenze di 11 nel triangolo di Tartaglia

    Con riferimento alle prime cinque righe del triangolo di Tartaglia, se si considerano gli elementi di ciascuna di tali righe come cifre di un numero, allora esse individuano le prime cinque potenze di 11:

    1=11^0\\ \\ 11 = 11^1\\ \\ 121=11^2\\ \\ \quad 1331=11^3\\ \\ 14641=11^4

    Anche le potenze successive di 11 si possono ottenere dalle successive righe, in questo caso però aggiungere uno zero prima di ogni elemento formato da una sola cifra e addizionando in modo opportuno.

    Ad esempio, visto che la riga successiva del triangolo di Tartaglia è 1, 5, 10, 10, 5, 1, per ottenere la potenza 11^5 procederemo nel modo seguente: 

    - aggiungiamo uno zero prima di ciascun numero formato da una sola cifra: 01, 05, 10, 10, 05, 01;

    - incolonniamo i numeri e sommiamo come in una normale addizione in colonna.

    \begin{array}{ccccccc}0 & 1 \\ & 0 & 5 \\ & & 1 & 0 \\ & & & 1 & 0 \\ & & & & 0 & 5 \\ & & & & & 0 & 1 \\ \cline{1-7} & 1 & 6 & 1 & 0 & 5 & 1\end{array}

    Il risultato ottenuto è esattamente 115.

    ***

    È tutto, alla prossima! ;)

    Risposta di Galois
 
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