Cateto: definizione e formule di calcolo
Cos'è un cateto, quali figure riguarda e come si fa a riconoscerlo? Vorrei sapere qual è la definizione di cateto e quali sono le varie formule con cui si possono calcolare le misure dei cateti di un triangolo rettangolo.
I cateti sono tipi di lati che riguardano solamente i triangoli rettangoli, oppure i triangoli in generale?
Un cateto è ognuno dei due lati adiacenti all'angolo retto nei triangoli rettangoli, vale a dire che i cateti sono i lati di un qualsiasi triangolo rettangolo che ne formano l'angolo di 90°; si parla quindi di cateti solo quando ci si riferisce ai triangoli rettangoli.
Come riconoscere i cateti
Per riconoscere i cateti di un triangolo rettangolo è sufficiente individuare l'angolo retto, indipendentemente dal modo in cui il triangolo rettangolo è disposto nel piano:
• il lato opposto all'angolo retto è l'ipotenusa;
• gli altri due lati sono i cateti e, in particolare:
- il lato di lunghezza maggiore si dice cateto maggiore,
- quello di lunghezza minore si dice cateto minore.
In riferimento alla seguente figura i cateti dei due triangoli sono i lati AB e AC.
Nel primo triangolo AC è il cateto maggiore e AB è il cateto minore.
Nel secondo triangolo AB è il cateto maggiore e AC è il cateto minore.
Cateti di due triangoli rettangoli.
Formule per il calcolo dei cateti
Per calcolare le misure dei cateti di un triangolo rettangolo si possono usare tantissime formule: tutto dipende dai dati che si hanno a disposizione.
Per elencarle faremo riferimento alla seguente immagine, in cui abbiamo indicato con 
il cateto minore, con 
il cateto maggiore, con 
l'ipotenusa, con 
la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa, con 
la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa, con 
l'angolo opposto al cateto minore e con 
l'angolo opposto al cateto maggiore.
Calcolo dei cateti c1 e c2 di un triangolo rettangolo.
Calcolo cateto con altro cateto e ipotenusa
Se sono note le misure dell'ipotenusa e di uno dei due cateti, per trovare l'altro cateto si usa il teorema di Pitagora, secondo cui la misura di un cateto è uguale alla radice quadrata della differenza tra il quadrato dell'ipotenusa e il quadrato del cateto noto.
Calcolo cateto con ipotenusa e proiezione sull'ipotenusa
Per calcolare la misura di un cateto conoscendo le misure dell'ipotenusa e della proiezione del cateto sull'ipotenusa si ricorre al primo teorema di Euclide. La misura di un cateto è uguale alla radice quadrata del prodotto tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.
Calcolo cateto con area e altro cateto
L'area di un triangolo rettangolo è data dal semiprodotto delle misure dei due cateti.
Di conseguenza per determinare la misura di un cateto conoscendo l'area del triangolo e la misura dell'altro cateto basta dividere il doppio dell'area per il cateto noto.
Calcolo cateto con ipotenusa e angolo opposto
Se sono note la misura dell'ipotenusa e l'ampiezza dell'angolo opposto a uno dei cateti, si può usare il primo teorema trigonometrico dei triangoli rettangoli, secondo cui la misura di un cateto è uguale al prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto al cateto considerato.
Calcolo cateto con ipotenusa e angolo adiacente
Supponiamo ora di conoscere la misura dell'ipotenusa e l'ampiezza dell'angolo acuto adiacente a uno dei cateti, che è β per il cateto c1 e α per il cateto c2. Il secondo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo stabilisce che la misura di un cateto è data dal prodotto tra l'ipotenusa e il coseno dell'angolo acuto adiacente.
Calcolo cateto con altro cateto e angolo opposto
Il terzo teorema trigonometrico sui triangoli rettangoli afferma che un cateto è uguale al prodotto tra l'altro cateto e la tangente dell'angolo opposto al primo.
Calcolo cateto con altro cateto e angolo adiacente
Un cateto è uguale al prodotto tra l'altro cateto e la cotangente dell'angolo acuto adiacente al primo, come garantito dal quarto teorema trigonometrico dei triangoli rettangoli.
Cateti di un triangolo rettangolo isoscele
In un triangolo rettangolo isoscele i due cateti sono uguali (c1=c2) e la loro misura si ottiene dividendo l'ipotenusa per la radice quadrata di 2.
Cateti di un triangolo 30 60 90
In un triangolo 30 60 90 il cateto minore è la metà dell'ipotenusa, e si può calcolare anche dividendo il cateto maggiore per la radice quadrata di 3. Il cateto maggiore si ottiene invece moltiplicando il cateto minore per la radice di 3, oppure moltiplicando l'ipotenusa per √3/2.
***
Ci fermiamo qui e concludiamo con qualche riferimento utile:
- se vuoi approfondire puoi consultare il formulario sul triangolo rettangolo;
- se ti servono degli esempi e dei problemi svolti sul calcolo dei cateti, li trovi qui: problemi svolti sul triangolo rettangolo;
- se ti serve una guida completa sul calcolo dell'ipotenusa - click!
Ti segnaliamo anche il tool per risolvere il triangolo rettangolo online, un pratico strumento per verificare i risultati degli esercizi.