Soluzioni
  • La variazione percentuale di una grandezza è un valore percentuale che esprime la differenza tra il valore finale e il valore iniziale di una grandezza in termini percentuali, considerando come valore di riferimento quello iniziale.

    Come calcolare la variazione percentuale

    Per calcolare la variazione percentuale di una grandezza dobbiamo conoscerne il valore iniziale ed il valore finale.

    Per fissare le idee supponiamo che x sia una grandezza e siano:

    x_i il suo valore iniziale;

    x_f il suo valore finale.

    La variazione percentuale è data da:

    \mbox{Variazione percentuale}=\left[\left(\frac{x_f}{x_i} \cdot 100\right) - 100\right] \%

    dove \frac{x_f}{x_i} \cdot 100 prende il nome di rapporto percentuale.

    Possiamo quindi dire che la variazione percentuale si ottiene dalla differenza tra il rapporto percentuale e 100.

    La formula per il calcolo della variazione percentuale può essere riscritta senza far ricorso al rapporto percentuale. In particolare possiamo raccogliere a fattor comune il 100, eseguire una semplice differenza e ricavare:

    \mbox{Variazione percentuale}=\left(\frac{x_f - x_i}{x_i} \cdot 100\right) \%

    In particolare, a seconda del segno della variazione percentuale, si parla di:

    - incremento percentuale se la variazione è positiva, ossia se x_f>x_i 

    - decremento percentuale se la variazione è negativa, ossia se x_f<x_i

    - variazione nulla se la variazione è uguale a zero, ossia se x_f=x_i

    Esempio di calcolo della variazione percentuale

    Una maglietta l'anno scorso costava 12 euro, quest'anno costa 18. Qual è la variazione percentuale?

    Svolgimento: nel nostro esempio la grandezza x è il prezzo della maglietta. Da quanto ci dice il problema sappiamo che:

    \\ x_i=12 \ \mbox{(prezzo iniziale)}\\ \\ x_f=18 \ \mbox{(prezzo finale)}

    Abbiamo tutto quello che ci occorre per calcolare la variazione percentuale della nostra grandezza. Utilizzando la seconda formula abbiamo:

    \mbox{Variazione percentuale}=\left(\frac{18-12}{12} \cdot 100 \right) \% = \left(\frac{6}{12} \cdot 100 \right) \% = 50 \%

    Attenzione a distinguere bene il valore iniziale da quello finale!

    Se ad esempio i dati fossero stati invertiti, ovvero se la maglietta l'anno scorso avesse avuto un costo di 18 euro e ques'anno di 12 euro, allora avremmo dovuto usare i seguenti dati:

    x_i=18\ \mbox{e}\ x_f = 12

    e quindi la variazione percentuale sarebbe stata:

    \mbox{Variazione percentuale}=\left(\frac{12-18}{18} \cdot 100 \right) \% = \left(\frac{-6}{18} \cdot 100 \right) \% = -33,\bar{3} \%

    Come si già si intuiva, nel primo esempio c'è stato un incremento (segno positivo), nel secondo un decremento (segno meno nel calcolo della variazione percentuale).

    Come ricavare la formula della variazione percentuale

    È estremamente utile capire come si ricava la formula per la variazione percentuale scritta in precedenza. Come al solito tutto gira intorno alle proporzioni: se chiamiamo x_i il valore iniziale e x_f il valore finale, possiamo scrivere

    x_i:100\%=(x_f-x_i):\mbox{(\mbox{variazione percentuale})}

    Notate che nella proporzione abbiamo considerato x_i come valore di riferimento, ossia come il nostro 100%.

    Usiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni e consideriamo la variazione percentuale come incognita

    (\mbox{variazione percentuale})\cdot x_i=100\%\cdot (x_f-x_i)

    Trattiamo l'uguaglianza come un'equazione di primo grado e dividiamo entrambi i membri per x_i

    \mbox{variazione percentuale}=\frac{100\%x_f-100\%x_i}{x_i}

    Non ci resta che dividere termine a termine nel membro di destra

    \mbox{variazione percentuale}=\frac{100\%x_f}{x_i}-\frac{100\%x_i}{x_i}

    per cui rimane

    \mbox{variazione percentuale}=\left[\left(\frac{x_f}{x_i} \cdot 100\%\right) - 100\%\right]

    e per concludere raccogliamo il simbolo di percentuale (operazione lecita perché una percentuale non è altro che una frazione)

    \mbox{variazione percentuale}=\left[\left(\frac{x_f}{x_i} \cdot 100\right) - 100\right]\%

    Finito! Ti saluto un paio di link di ripasso e di approfondimento:

    - la lezione principale dedicata al calcolo percentuale (fondamentale!)

    - il tool per calcolare le percentuali online. ;)

    Risposta di Omega
 
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