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  • Ciao Namis, 

    Lo spazio R[x] è lo spazio dei polinomi di grado ≤ 2. La base canonica di tale spazio è data dai monomi 1,x,x2 . La base canonica per lo spazio R3 è: (e1,e2,e3) (dove con ei si indica il vettore con tutte componenti nulle ad esclusione dell'i-esima che è 1). 

    Come puoi notare, si tratta di due spazi 3-dimensionali.

    La matrice associata all'applicazione lineare, pertanto, è a matrice 3x3 data da:

    \left[ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 &1 \end{matrix}\right].

     

    Per trovare questa matrice devi seguire questo procedimento:

    1. Scrivi una generica matrice 3x3, in questo modo:

    F= \left[ \begin{matrix}\alpha & \beta & \gamma \\ \delta & \varepsilon & \eta \\ \theta & \mu & \nu \end{matrix}\right].

    2. Osserviamo che il polinomio (b+c)x2+(b-a)x + (a+c) non è altro che il vettore immagine

    \left[ \begin{matrix}b+c\\b-a\\a+c\end{matrix}\right].

    scritto sulla base di R[x]. 

    3. Prendi un vettore di incognite [a,b,c]^T e scrivi la matrice che, attraverso il prodotto con tale vettore, produce il vettore immagine. E' semplicemente

     

    \left[ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 &1 \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}b+c\\b-a\\a+c\end{matrix}\right].

     

    Il nucleo di un'applicazione lineare è dato dall'insieme dei vettori che vengono mandati in zero, sostanzialmente siamo in cerca dei vettori (a,b,c) tali che f((a,b,c))=0. Questo si verifica soltanto quando i coefficienti del polinomio sono contemporaneamente nulli. Cioè quando a=b=-c, quindi sono tutti i vettori che appartengono al sottospazio generato da (1,1,-1).  Vale a dire che ha dimensione 1! 

    Quindi l'applicazione non è iniettiva. 

    Ora, usando il teorema di nullità più rango, (dim V = dim ker f + dim Im f), ottieni che la dimensione dell'Immagine di f è 2. Quindi l'applicazione non è nemmeno suriettiva.

     

    Ti lascio i link a due letture molto interessanti:

    - applicazioni lineari tra spazi di polinomi;

    - dimensione e base di nucleo e immagine.

    Risposta di Alpha
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