Applicazione lineare con immagini in uno spazio di polinomi

Question

Vorrei sapere come si svolge l'esercizio che sto per proporvi, in cui viene assegnata un'applicazione lineare a immagini in uno spazio di polinomi e occorre calcolare: la matrice associata rispetto alle basi canoniche, la dimensione e una base sia del nucleo che dell'immagine. Determinare, nei riferimenti canonici di dominio e codominio, la matrice associata all'applicazione lineare f: R^3 → R_2[x] tale che f(a,b,c) = (a+c)+(b-a)x+(b+c)x^2 Successivamente calcolare la dimensione e una base di Ker(f) e di Im(f).

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Sia f: R^3 → R_2[x] l'applicazione lineare con spazi di polinomi tale che f(a,b,c) = (a+c)+(b-a)x+(b+c)x^2 Proponiamoci di calcolare la matrice rappresentativa di f rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio, e di determinare la dimensione e una base dell'immagine e del nucleo di f. Calcolo della matrice associata Il dominio di f è lo spazio vettoriale R^3, la cui base canonica è ; mathcalC = e_1, e_2, e_3 = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) R_2[x] è lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali e di grado minore o uguale a 2; la sua base canonica è mathcalC' = 1,x,x^2 La matrice A_f associata a f rispetto alle basi mathcalC, mathcalC' ha come colonne i vettori delle coordinate rispetto alla base mathcalC' delle immagini mediante f dei vettori di mathcalC. Calcoliamo, allora, le immagini dei vettori e_1, e_2, e_3 ; f(e_1) = f(1,0,0) = (1+0)+(0-1)x+(0+0)x^2 = 1-x ; f(e_2) = f(0,1,0) = (0+0)+(1-0)x+(1+0)x^2 = x+x^2 ; f(e_3) = f(0,0,1) = (0+1)+(0-0)x+(0+1)x^2 = 1+x^2 A questo punto determiniamo le coordinate rispetto a mathcalC' dei polinomi immagine. Per com'è definita la base mathcalC' abbiamo che ; [f(e_1)]_(mathcalC) = [1-x]_(mathcalC) = (1,-1,0) ; [f(e_2)]_(mathcalC) = [x+x^2]_(mathcalC) = (0,1,1) ; [f(e_3)]_(mathcalC) = [1+x^2]_(mathcalC) = (1,0,1) per cui A_f = [1 0 1 ;-1 1 0 ; 0 1 1] Dimensione e base dell'immagine Per calcolare la dimensione e una dell'immagine dell'applicazione lineare f procediamo come segue. Consideriamo il sottospazio generato dalle colonne di A_f V = Span((1,-1,0), (0,1,1), (1,0,1)) ed estraiamone una base. A tal proposito osserviamo che la matrice che li ha per colonne, ossia A_f, ha determinante nullo (la terza colonna è uguale alla somma delle prime due) e che il minore che si ottiene eliminandone la terza riga e la terza colonna è diverso da zero. Da ciò segue che una base di V è formata dalla prime due colonne di A_f mathcalB_V = (1,-1,0), (0,1,1) I vettori di mathcalB_V sono vettori di coordinate rispetto alla base mathcalC' a cui corrispondono, rispettivamente, i polinomi 1-x ; x+x^2 dunque mathcalB_(Im(f)) = 1-x, x+x^2 e la dimensione di Im(f) è 2 dim(Im(f)) = 2. Dimensione e base del nucleo Il nucleo di f è un sottospazio vettoriale di R^3 e i suoi elementi sono i vettori di R^3 la cui immagine mediante f è il polinomio nullo. Ciò premesso, per calcolare una base di Ker(f) imponiamo che sia f(a,b,c) = 0 ossia (a+c)+(b-a)x+(b+c)x^2 = 0 e determiniamo una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo che ne scaturisce a+c = 0 ;-a+b = 0 ; b+c = 0 La matrice associata è A_f, che ha rango uguale a 2 dunque, per il teorema di Rouché Capelli, le soluzioni sono ∞^1. Assegnando il ruolo di parametro libero all'incognita c otteniamo (a,b,c) = (-c,-c,c) = c(-1,-1,1) Una base dello spazio soluzioni, e quindi una base di Ker(f), è mathcalB_(Ker(f)) = (-1,-1,1) e la dimensione del nucleo è 1 dim(Ker(f)) = 1 Abbiamo terminato!