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  • Perpendicolare è un termine che deriva dal vocabolo latino perpendicŭlum, che significa filo a piombo; due enti geometrici r, s sono perpendicolari se formano tra loro uno o più angoli retti, ossia con ampiezza di 90°, e in tal caso si scrive r⟂s.

    Premessa sul concetto di perpendicolarità

    Fin dal principio dello studio della Geometria Piana e della Geometria Solida si sente parlare di rette perpendicolari oppure di retta perpendicolare a un piano o, ancora, di piani tra loro perpendicolari.

    Quella che abbiamo appena scritto è la definizione di perpendicolarità più nota e più utilizzata, ma attenzione: in realtà non è l'unica e nemmeno la più generale possibile.

    In Matematica capita di tanto in tanto che non esista un'unica definizione per uno stesso concetto, e ciò in generale non è un problema: l'importante è che vi sia coerenza tra la definizione che si adotta e nei modi in cui si utilizza.

    La questione però si complica se si pensa che una stessa nozione, come quella di perpendicolarità, viene affrontata a un livello di studi molto elementare (scuola primaria, scuola media) o a un livello ben più avanzato (scuole superiori, università).

    Cerchiamo allora di passare in rassegna i principali casi di enti geometrici perpendicolari, mostrando le due possibili definizioni e mettendo in luce la principale differenza tra le due. Come vedrete tra un istante, è solo una questione di intersezione. ;)

    Simbolo perpendicolare

    Il simbolo di perpendicolare è ⟂, ossia una T capovolta, che viene usata per stilizzare graficamente la perpendicolarità tra due linee rette; il simbolo viene utilizzato per denotare la perpendicolarità tra due enti geometrici qualsiasi, semplicemente interponendolo tra i simboli dei due enti.

     

    Simbolo perpendicolare

     

    Rette perpendicolari nel piano

    Due rette nel piano si dicono perpendicolari se sono rette incidenti e se, intersecandosi, formano un angolo retto.

     

    Rette perpendicolari

    Rette perpendicolari nel piano.

     

    Finché si parla di rette nel piano, non ci sono problemi né ambiguità. La definizione di rette perpendicolari nel piano è sempre la stessa: le due rette devono intersecarsi e devono formare (almeno) un angolo retto; in particolare, esse formano 4 angoli retti.

    E se volessimo definire la nozione di segmenti perpendicolari? Qui la situazione si complica leggermente:

    1) secondo la definizione più semplice possibile, tipica della scuola primaria e della scuola media, due segmenti AB,BC sono perpendicolari se si intersecano e se formano un angolo di 90°;

    2) secondo la definizione più generale possibile, due segmenti sono perpendicolari se giacciono su rette perpendicolari.

    Si vede subito che la definizione 2) non presuppone l'intersezione tra i due segmenti e, essendo più generale, è sicuramente preferibile.

     

    Perpendicolarità tra segmenti

    Segmenti perpendicolari secondo le due possibili definizioni.

     

    Rette perpendicolari dello spazio

    Nello spazio la questione è più delicata, perché disponiamo di una dimensione in più rispetto al caso piano.

    Due rette nel piano possono solamente intersecarsi oppure essere parallele; due rette nello spazio possono intersecarsi, non intersecarsi essendo parallele o ancora non intersecarsi senza essere parallele.

    1) secondo la definizione più semplice, due rette nello spazio sono perpendicolari se sono rette incidenti e se, intersecandosi, formano un angolo retto;

    2) per la definizione più generale è necessario ricordare cosa sono due rette sghembe, cosa sono due rette complanari e sapere che due rette incidenti sono sempre complanari:

    - due rette complanari (ossia due rette nello spazio che appartengono a uno stesso piano) sono perpendicolari se, intersecandosi, formano un angolo retto;

    - due rette sghembe (ossia due rette nello spazio per cui non esiste alcun piano tale da contenerle) sono perpendicolari se esiste una retta parallela a una delle due e tale da incidere l'altra formando un angolo di 90°.

    La definizione 2) è certamente più impegnativa della 1), soprattutto se espressa a parole. A questo proposito è importante precisare che negli studi più avanzati (Algebra Lineare) si dispone di strumenti che permettono di affrontare la Geometria in termini algebrici, rendendo tutto più semplice (per approfondire: rette perpendicolari nello spazio).

    Non solo: vengono anche forniti strumenti che consentono di estendere la nozione stessa di perpendicolarità, che in quel contesto viene chiamata più astrattamente ortogonalità.

    Retta perpendicolare a un piano

    Una retta si dice perpendicolare a un piano se interseca il piano in uno e un solo punto P e se, in tale punto, è perpendicolare a ogni retta appartenente al piano.

     

    Retta perpendicolare ad un piano

    Retta perpendicolare a un piano.

     

    Piani perpendicolari

    Due piani sono tra loro perpendicolari se sono incidenti e se, intersecandosi, formano un angolo diedro retto (e dunque 4 angoli diedri retti).

     

    Piani perpendicolari

    Piani perpendicolari.

     

    Per concludere, ricordiamo che in Matematica può capitare che non vi siano definizioni univoche, e che possono esserci differenze a seconda del contesto e del livello di studi. Per non sbagliare bisogna sempre fare riferimento al proprio docente e/o al libro di testo che ci viene assegnato. ;)

    Risposta di Galois
 
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