Rettangolo aureo

Il rettangolo aureo è un rettangolo le cui dimensioni soddisfano la proporzione aurea ossia dette a e b le dimensioni del rettangolo, con a>b, la dimensione minore (b) è medio proporzionale tra la maggiore (a) e la differenza tra la maggiore e la minore (a-b).

Volendo esprimere in formule la definizione di rettangolo aureo, se a è la dimensione maggiore e b la dimensione minore di un rettangolo R, allora:

Costruzione del rettangolo aureo

Costruire un rettangolo aureo è un gioco da ragazzi, basta solo una riga ed un compasso. Vediamo quali sono i passi da seguire:

1) disegniamo un segmento verticale AB il quale corrisponderà alla dimensione minore del rettangolo;

2) costruiamo un quadrato ABCD avente come lato il segmento appena disegnato;

3) troviamo il punto medio M della base del quadrato e puntando il compasso in tale punto, con apertura MC, tracciamo un arco di circonferenza che incontra in E il prolungamento del lato AD;

4) il rettangolo ABFE avente per dimensioni i segmenti AB ed AE è un rettangolo aureo.

Rettangolo aureo e Fibonacci

A partire dalla successione di Fibonacci si può costruire un rettangolo aureo; per far ciò è sufficiente affiancare in successione tanti quadrati, ognuno dei quali ha per lato uno dei valori di tale successione, ossia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Come possiamo osservare dall'immagine precedente, in tal modo si crea una successione di rettangoli ognuno dei quali approssima sempre meglio il rettangolo aureo.

Proprietà del rettangolo aureo

Le proprietà di cui gode il rettangolo aureo sono davvero tante; qui di seguito ne riportiamo le principali:

1) un rettangolo aureo può rigenerarsi infinite volte, ossia a partire da un rettangolo aureo se ne possono costruire infiniti.

Rigenerare un rettangolo aureo è immediato. A titolo di esempio supponiamo che il rettangolo di vertici A, B, C, D riportato in figura sia un rettangolo aureo la cui dimensione maggiore è AB. Costruendo un quadrato di lato CD si ricavano i vertici E ed F; il rettangolo ABFE è, ancora, un rettangolo aureo.

Dunque per rigenerare un rettangolo aureo è sufficiente costruire un quadrato avente come base il lato maggiore del rettangolo.

2) Le dimensioni di un rettangolo aureo sono in rapporto aureo, ossia il rapporto tra la dimensione maggiore (a) e la dimensione minore (b) di un rettangolo aureo ci dà il numero aureo:

3) i 12 vertici di 3 rettangoli aurei che si intersecano perpendicolarmente nello spazio sono i vertici di un icosaedro regolare.

Rettangolo aureo e spirale aurea

All'interno di un rettangolo aureo è possibile costruire una spirale, detta spirale di Fibonacci, la quale approssima molto bene la spirale aurea.

Per costruire tale spirale partendo da un rettangolo aureo è sufficiente sottrarre da questo rettangolo un quadrato avente come lato la dimensione minore del rettangolo; come risultato si ottiene un nuovo rettangolo che è ancora aureo. Iterando questo procedimento si formano una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli e l'uno interno all'altro.

Disegnando un arco di circonferenza dentro ogni quadrato si ottiene proprio la spirale di Fibonacci, ossia una buona approssimazione della spirale aurea, tanto buona che ad occhio nudo non si nota alcuna differenza. ;)

Rettangolo aureo in architettura

Il rettangolo aureo è stato definito da molti il rettangolo più bello in quanto ritenuto capace di conferire bellezza alle figure tali da poter essere inscritte al suo interno. In architettura troviamo svariati esempi di utilizzi del rettangolo aureo; qui di seguito ne riportiamo i più famosi:

- la facciata del Partenone è inscrivibile in un rettangolo aureo;

- le facce dell'ottagonale battistero di Firenze hanno dimensioni molto vicine a quelle di un rettangolo aureo;

- buona parte delle croci negli antichi cimiteri tedeschi sono inscrivibili in un rettangolo aureo;

- nella stele del re egizio Get si osserva, al centro, un rettangolo aureo.

Rettangolo aureo in fotografia

Il rettangolo aureo torna molto utile anche in fotografia: costruendo sulla fotografia un rettangolo aureo e ricavando al suo interno la spirale aurea, si fa coincidere il centro della spirale col punto della foto che si vuole mettere il risalto (che può essere l'occhio di un uccello, il centro del viso di un uomo, le fedi nuziali).

A quel punto si taglia la foto seguendo i margini del rettangolo di partenza; si otterrà così una fotografia meglio composta e più armoniosa.

Agli occhi di molti ciò potrebbe sembrare un'assurdità, ma alcuni famosi programmi di fotoritocco hanno integrato rettangolo e spirale aurea come strumento automatico di ritaglio. ;)

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