Soluzioni
  • La proporzione aurea è una particolare proporzione tra due grandezze in cui la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma tra la maggiore e la minore.

    Per fissare le idee indichiamo con a e con b le due grandezze e supponiamo che la maggiore sia a. Diremo allora che a e b sono in proporzione aurea se tali grandezze formano una proporzione in cui la maggiore (a) è medio proporzionale tra la minore (b) e la loro somma (a+b). In formule:

    a \mbox{ e } b, (\mbox{ con } a>b) \mbox{ sono in proporzione aurea} \iff b:a=a:(a+b)

    Definizione alternativa di proporzione aurea

    In modo del tutto analogo possiamo definire la proporzione aurea come una proporzione tra due grandezze a e b, con a>b, in cui la grandezza minore (b) è medio proporzionale tra maggiore (a) e la differenza tra la maggiore e la minore (a-b):

    a \mbox{ e } b, (\mbox{ con } a>b) \mbox{ sono in proporzione aurea } \iff a:b=b:(a-b)

    Le due definizioni di proporzione aurea date poc'anzi sono solo all'apparenza differenti. Infatti per passare dall'una all'altra è sufficiente applicare le proprietà delle proporzioni; vediamo come si procede.

    Partendo dalla proporzione

    b:a=a:(a+b)

    applichiamo la proprietà dell'invertire

    a:b=(a+b):a

    A questo punto applichiamo la proprietà dello scomporre

    (a-b):b=[(a+b)-a]:a

    da cui

    (a-b):b=b:a

    Infine ricorrendo alla proprietà del permutare gli estremi ricadiamo nella proporzione data nella seconda definizione di proporzione aurea, ossia

    a:b=b:(a-b)

    Come capire se due grandezze sono in proporzione aurea

    Per capire se due grandezze sono in proporzione aurea è sufficiente calcolare il rapporto tra la grandezza maggiore e la grandezza minore. Se da tale rapporto si ottiene il numero aureo allora le due grandezze sono in proporzione aurea e tale rapporto prende il nome di rapporto aureo.

    a \mbox{ e } b, \mbox{ con } a>b, \mbox{ sono in proporzione aurea} \iff \frac{a}{b}=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

    Esempi di proporzione aurea

    Per non lasciare spazio a dubbi vediamo qualche esempio di proporzione aurea:

    1) I lati di un rettangolo aureo sono in proporzione aurea, ossia dette a e b le dimensioni del rettangolo, con a>b:

    a:b=b:(a-b)

    2) Preso un decagono regolare ed indicate con L la misura del lato e con R il raggio della circonferenza ad esso circoscritta, vale la seguente proporzione che è proprio una proporzione aurea

    L:R=R:(L+R)

    Proporzione aurea nel viso e nel corpo umano

    Secondo alcuni studi, tutti i volti definiti oggettivamente belli sono conformi alla proporzione aurea; nello specifico, danno il numero aureo il rapporto tra:

    - altezza e larghezza del viso,

    - altezza e larghezza del naso,

    - lunghezza ed altezza della bocca,

    - larghezza degli occhi e loro reciproca distanza,

    - posizione della bocca rispetto agli occhi e rispetto al naso.

    Escluso il viso, anche molte altre parti del corpo umano sono in proporzione aurea; a titolo di esempio ricordiamo:

    - lunghezza del braccio e distanza gomito-mano;

    - distanza spalle-ombelico e distanza spalle-fronte;

    - falangi dell'anulare e del medio della mano.

    Con questo è tutto! Per approfondire e leggere altri esempi: sezione aurea - click!

    Risposta di Galois
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