Due rette dello spazio sono ortogonali (o perpendicolari) se sono tali le loro direzioni, ovvero se il prodotto scalare tra i vettori direttori delle rette è uguale a zero.
Per intenderci meglio, se r ed s sono due rette aventi parametri direttori
rispettivamente, allora:
Vediamo un esempio.
La retta r di equazione cartesiana:
e la retta s di equazione parametrica:
sono ortogonali, infatti, la direzione della retta r (data dal prodotto vettoriale dei coefficienti direttori dei piani che la compongono) è:
![v_r = [1,3,1] \times [2,-1,0] = [1,2,-7]](/images/joomlatex/f/5/f591d858950339c2f248786a79835e05.gif)
mentre la direzione della retta s è
![v_s=[5,1,1]](data:image/gif;base64,R0lGODlhWwASAOMAAP///wAAAMzMzKqqqkRERO7u7hAQENzc3JiYmDIyMrq6uoiIiHZ2dlRUVCIiImZmZiH5BAEAAAAALAAAAABbABIAAAT+EMhJq73YkjZoyWCIIU0jnuhkSkfgBs0XFoSA0ja1pny2HwiBQAY6MBABhciIVOp60Muv00umrM+oVjKFYk9fLkAwIEgKhsNW9FssBgynKByixxAAQy4hX2N+Ow59GXQgdkotEwtqIg8lj5ANDH8YDGZzg4aDKww7eH4gOxULAWCZhJsSDlQAn6CUEgasCwamV6kAATJCigMIRBSOkZCTUhMEjAAltih2EroSCxMKkws5r54yB2ksMRhhB94XzgADDwiuAC0Ep1uiCAsMD8kCAekABZYBCQw59ff5COzrp2IGglqvxJxgtTCFqAoCLj30MxEDQxEXQ2UogGCAtYQbCkMoACaSpEaQKCpayAiCpQ+UKDa4hGmBRIMIADs=)
Il prodotto scalare tra le due direzioni è nullo:
![v_r \cdot v_s = [1,2,-7] \cdot [5,1,1] = 5+2-7=0](/images/joomlatex/b/6/b60dfba46cf830f86bcf736ae6dbdcef.gif)
E dunque, possiamo concludere che le due rette sono effettivamente perpendicolari.
Da un punto di vista puramente geometrico due rette si dicono ortogonali se:
- giacendo sullo stesso piano sono incidenti e formano quattro angoli retti;
- appartengono a piani distinti tra loro ortogonali.
Da questa definizione vien fuori un'importantissima proprietà; anche due rette sghembe possono essere tra loro perpendicolari.
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