Rette ortogonali nello spazio

Come si fa nella pratica a stabilire che due rette sono ortogonali nello spazio, e dal punto di vista algebrico a verificarlo? Un esempio mi sarebbe di grande aiuto, vi ringrazio!

In Uni - Algebra Lineare - Domanda di FAQ

Soluzioni

  • Due rette dello spazio sono ortogonali (o perpendicolari) se sono tali le loro direzioni, ovvero se il prodotto scalare tra i vettori direttori delle rette è uguale a zero.

    Per intenderci meglio, se r ed s sono due rette aventi parametri direttori (l, \ m, \ n) \ \mbox{e} \ (l', \ m', \ n') rispettivamente, allora:

    r \perp s \ \iff \ ll'+mm'+nn'=0

    Vediamo un esempio. 

    La retta r di equazione cartesiana:

    r:\begin{cases} x+3y+z=0 \\ 2x-y=0 \end{cases}

    e la retta s di equazione parametrica:

    \begin{cases}x=2+5t \\ y=t \\ z=-2+t \end{cases} \ \ t \in \mathbb{R}

    sono ortogonali, infatti, la direzione della retta r (data dal prodotto vettoriale dei coefficienti direttori dei piani che la compongono) è:

    v_r = [1,3,1] \times [2,-1,0] = [1,2,-7]

    mentre la direzione della retta s è

    v_s=[5,1,1]

    Il prodotto scalare tra le due direzioni è nullo:

    v_r \cdot v_s = [1,2,-7] \cdot [5,1,1] = 5+2-7=0

    E dunque, possiamo concludere che le due rette sono effettivamente perpendicolari.

     

    Da un punto di vista puramente geometrico due rette si dicono ortogonali se:

    - giacendo sullo stesso piano sono incidenti e formano quattro angoli retti;

    - appartengono a piani distinti tra loro ortogonali.

    Da questa definizione vien fuori un'importantissima proprietà; anche due rette sghembe possono essere tra loro perpendicolari.

     

    Potrebbero interessarti: rette complanari - rette sghembe - rette incidenti nello spazio ;)

    Risposta di Omega
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