Soluzioni
  • Nello spazio tridimensionale, due rette sghembe sono rette per le quali non esiste alcun piano che le contiene.

    Per fissare le idee consideriamo un piano \alpha e una retta r \in \alpha. Sia poi s una retta incidente il piano \alpha in un punto P \notin r. Le rette r, s siffatte sono due rette sghembe, infatti non esiste alcun piano che possa contenerle entrambe.

     

    Rette sghembe

    Esempio di rette sghembe

     

    In modo equivalente, due rette sono sghembe se e solo se non sono né incidenti, né parallele distinte, né parallele coincidenti. Per convincersene è sufficiente ricordare che due rette sono complanari se e solo se sono incidenti o parallele (distinte o coincidenti).

    Per contrapposizione, quindi, due rette che non sono né incidenti né parallele non sono complanari, e dunque sono sghembe. Viceversa, due rette che non sono complanari non possono essere né incidenti né parallele.

    Come stabilire se due rette sono sghembe

    In un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}) consideriamo due rette r, s. Vediamo quali sono i metodi che permettono di capire se sono rette sghembe a partire dalle loro equazioni, cartesiane o parametriche.

    1) Rette sghembe in forma cartesiana

    Supponiamo che r, s siano rette descritte in forma cartesiana

    \\ r: \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases} \\ \\ \\ s: \begin{cases}a_3x+b_3y+c_3z+d_3=0 \\ a_4x+b_4y+c_4z+d_4=0\end{cases}

    Per stabilire se le due rette sono sghembe occorre calcolare il determinante della matrice

    A=\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1&d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4\end{pmatrix}

    in cui gli elementi della prima e della seconda coppia di righe sono i coefficienti delle equazioni cartesiane dei piani che individuano rispettivamente ciascuna retta come intersezione.

    Se il determinante di A è diverso da zero, allora le due rette sono sghembe; in caso contrario r, s sono rette complanari.

    \mbox{det}(A)\neq 0\ \Rightarrow\ \mbox{rette sghembe}\\ \\ \mbox{det}(A)=0\ \Rightarrow\ \mbox{rette complanari}

    Esempio (stabilire se due rette sono sghembe dalle equazioni cartesiane)

    Mostrare che le rette r, s descritte dalle equazioni cartesiane

    \\ r: \begin{cases}x+y+z=0 \\ 2x+3y-z+1=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\begin{cases}x-y=0 \\ 4x+7y+2z=0\end{cases}

    sono sghembe.

    Svolgimento: consideriamo la matrice dei coefficienti delle equazioni cartesiane, e calcoliamone il determinante:

    \\ \mbox{det}\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1&d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4\end{pmatrix} = \mbox{det}\begin{pmatrix}1&1&1&0 \\ 2&3&-1&1 \\ 1&-1&0&0 \\ 4&7&2&0\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =1 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}1&1&1 \\ 1&-1 & 0 \\ 4&7&2\end{pmatrix}=7

    Per il calcolo del determinante abbiamo usato la regola di Laplace con sviluppo rispetto alla quarta colonna, che ha un solo termine non nullo. Si ricade così in una matrice 3x3, per cui si può usare la regola di Sarrus.

    2) Rette sghembe in forma parametrica

    Se le rette sono assegnate in forma parametrica

    \\ r: \begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases} \\ \\ \\ s: \begin{cases}x=x_0'+l't \\ y=y_0'+m't \\ z=z_0'+n't\end{cases}

    si deve considerare il determinante della matrice

    A=\begin{pmatrix}x_0-x_0' & y_0-y_0' & z_0-z_0' \\ l & m & n \\ l' & m' & n'\end{pmatrix}

    Gli elementi della prima riga di A sono dati dalla differenza tra le coordinate cartesiane dei punti P_r(x_0,y_0,z_0) \in r e P_s(x_0',y_0',z_0') \in s, mentre le altre due righe sono le componenti dei vettori direttori delle rette che definiscono le rispettive equazioni parametriche.

    Ancora una volta, se il determinante di A è diverso da zero allora le rette sono sghembe, in caso contrario sono complanari.

    \mbox{det}(A)\neq 0\ \Rightarrow\ \mbox{rette sghembe}\\ \\ \mbox{det}(A)=0\ \Rightarrow\ \mbox{rette complanari}

    Esempio (stabilire se due rette sono sghembe dalle equazioni cartesiane)

    Verificare che

    \\ r: \begin{cases}x=1+t \\ y=3t \\ z=4\end{cases} \\ \\ \\ s:\begin{cases}x=t \\ y=5-2t \\ z=-2\end{cases}

    sono rette sghembe.

    Svolgimento: consideriamo i punti

    \\ P_r(1,0,4) \in r \\ \\ P_s(0,5,-2) \in s

    e i rispettivi vettori direzione

    \\ \mathbf{v}_r=(l,m,n)=(1,3,0) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')=(1,-2,0)

    Costruiamo la matrice

    \\ A=\begin{pmatrix}x_0-x_0' & y_0-y_0' & z_0-z_0' \\ l & m & n \\ l' & m' & n'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1-0 & 0-5 & 4+2 \\ 1&3&0 \\ 1&-2&0\end{pmatrix}= \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}1 & -5 & 6 \\ 1&3&0 \\ 1&-2&0\end{pmatrix}

    e calcoliamone il determinante con lo sviluppo di Laplace riferito alla terza colonna

    \\ \mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}1 & -5 & 6 \\ 1&3&0 \\ 1&-2&0\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = 6 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} 1&3 \\ 1&-2\end{pmatrix} = 6 (-2-3)= -30 \neq 0

    Dal momento che \mbox{det}(A)\ne 0 possiamo concludere che r,s sono sghembe.

    3) Rette sghembe in forma mista

    Se una delle due rette (r) è in forma cartesiana e l'altra (s) è in forma parametrica, dobbiamo fare una scelta:

    - trasformare r dalla forma cartesiana a quella parametrica e procedere come in 2), oppure

    - passare dalla forma parametrica alla cartesiana di s e ricadere nel caso 1).

    Esempio (stabilire se due rette sono sghembe avendone una in forma cartesiana e l'altra in forma parametrica)

    Verificare che

    \\ r: \begin{cases}x-2=0 \\ y-1=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\begin{cases}x=1+t \\ y=1-t \\ z=2t\end{cases}

    sono rette sghembe.

    Svolgimento: le equazioni parametriche della retta r sono

    r:\begin{cases}x=2 \\ y=1 \\ z=t\end{cases}

    Per stabilire se r,s sono rette sghembe dobbiamo calcolare il determinante della matrice

    A=\begin{pmatrix}x_0-x_0' & y_0-y_0' & z_0-z_0' \\ l & m & n \\ l' & m' & n'\end{pmatrix}

    dove

    \\ (x_0,y_0,z_0)=(2,1,0) \in r \\ \\ (x_0',y_0',z_0')=(1,1,0) \in s \\ \\ \mathbf{v}_r=(l,m,n)=(0,0,1) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')=(1,-1,2)

    Sostituendo nella matrice A otteniamo

    A=\begin{pmatrix}x_0-x_0' & y_0-y_0' & z_0-z_0' \\ l & m & n \\ l' & m' & n'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix}

    il cui determinante è non nullo

    \mbox{det}(A)=1\ne 0

    e ciò conferma che r,s sono sghembe.

    ***

    Se volete approfondire lo studio della posizione reciproca tra rette dello spazio vi suggeriamo di leggere l'omonima lezione. Inoltre, come ulteriori approfondimenti sulle rette sghembe, potete leggere:

    - angolo tra rette sghembe;

    - distanza tra rette sghembe.

    Risposta di Galois
 
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