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  • Due rette sghembe nello spazio sono per definizione rette che non sono complanari, ossia rette che non appartengono allo stesso piano. In modo equivalente due rette sghembe sono per definizione rette che non sono parallele né incidenti.

    Equivalenza delle definizioni di rette sghembe

    Le due definizioni di rette sghembe che abbiamo appena scritto sono equivalenti, ed il motivo è presto detto. Esiste infatti un teorema della Geometria Euclidea che afferma che due rette sono complanari se e solo se sono parallele oppure sono incidenti.

    Quindi, per contrapposizione, due rette che non sono né parallele né incidenti non appartengono allo stesso piano, e dunque sono sghembe.

    Viceversa, due rette che non appartengono al medesimo piano non possono essere né parallele né incidenti.

    Come stabilire se due rette sono sghembe

    Dopo aver compreso la definizione passiamo all'atto pratico e vediamo come stabilire, data l'equazione di due rette, se esse sono sghembe. Distinguiamo tre casi.

    1) Le due rette sono espresse forma cartesiana, cioè siamo di fronte a due equazioni del tipo:

    r: \begin{cases}a_1 x +b_1 y + c_1 z + d_1 =0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 \end{cases} \ \ \ s: \begin{cases}a_3 x +b_3 y + c_3 z + d_3 =0 \\ a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4 = 0 \end{cases}

    Sarà il calcolo del determinante della matrice:

    \left[\begin{matrix}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{matrix}\right]

    a dirci se le due rette in forma cartesiana sono sghembe. Se il determinante di tale matrice è diverso zero (ossia se la matrice ha rango massimo), allora le due rette sono sghembe. In caso contrario avremo a che fare con due rette complanari.

    2) Entrambe le rette sono date in forma parametrica, ossia nella forma

    r: \begin{cases}x=x_0 + lt \\ y=y_0 + mt \\ z=z_0+nt\end{cases}\ \ \ s: \begin{cases}x=x'_0+l't \\ y=y'_0+m't \\ z=z'_0+n't \end{cases} \ \ t \in \mathbb{R}

    Per vedere se le due rette in forma parametrica sono sghembe bisogna calcolare il determinante della matrice:

    \left[\begin{matrix}x'_0 - x_0 & y'_0-y_0 & z'_0-z_0 \\ l & m & n \\ l' & m' & n' \end{matrix}\right]

    Anche qui, se è diverso da zero le due rette sono sghembe.

    3) Una retta (diciamola r) è in forma cartesiana e l'altra (s) è data in forma parametrica.

    Dobbiamo fare una scelta:

    - trasformare r dall'equazione cartesiana all'equazione parametrica e quindi ricadere nel caso 2);

    oppure

    - scrivere s dalla forma parametrica alla forma cartesiana e procedere come nel caso 1).

    Con questo è tutto! Per tutti gli approfondimenti del caso ti rimando alla nostra lezione sulle posizioni tra due rette nello spazio. ;)

    Risposta di Galois
 
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