Rette sghembe

Due rette sghembe sono rette nello spazio per le quali non esiste alcun piano tale da contenerle entrambe; al contrario, date due rette nello spazio, se esiste almeno un piano tale da contenerle entrambe diremo che esse sono rette complanari.

Per fissare le idee consideriamo un piano e una retta . Sia poi una retta incidente il piano in un punto . Le rette siffatte sono due rette sghembe, infatti non esiste alcun piano che possa contenerle entrambe.

Esempio di rette sghembe

In modo equivalente, due rette sono sghembe se e solo se non sono né incidenti, né parallele distinte, né parallele coincidenti. Per convincersene è sufficiente ricordare che due rette sono complanari se e solo se sono incidenti o parallele (distinte o coincidenti).

Per contrapposizione, quindi, due rette che non sono né incidenti né parallele non sono complanari, e dunque sono sghembe. Viceversa, due rette che non sono complanari non possono essere né incidenti né parallele.

Come stabilire se due rette sono sghembe

In un sistema di riferimento cartesiano ortonormale  consideriamo due rette . Vediamo quali sono i metodi che permettono di capire se sono rette sghembe a partire dalle loro equazioni, cartesiane o parametriche.

1) Rette sghembe in forma cartesiana

Supponiamo che siano rette descritte in forma cartesiana

Per stabilire se le due rette sono sghembe occorre calcolare il determinante della matrice

in cui gli elementi della prima e della seconda coppia di righe sono i coefficienti delle equazioni cartesiane dei piani che individuano rispettivamente ciascuna retta come intersezione.

Se il determinante di è diverso da zero, allora le due rette sono sghembe; in caso contrario sono rette complanari.

Esempio (stabilire se due rette sono sghembe dalle equazioni cartesiane)

Mostrare che le rette descritte dalle equazioni cartesiane

sono sghembe.

Svolgimento: consideriamo la matrice dei coefficienti delle equazioni cartesiane, e calcoliamone il determinante:

Per il calcolo del determinante abbiamo usato la regola di Laplace con sviluppo rispetto alla quarta colonna, che ha un solo termine non nullo. Si ricade così in una matrice 3x3, per cui si può usare la regola di Sarrus.

2) Rette sghembe in forma parametrica

Se le rette sono assegnate in forma parametrica

si deve considerare il determinante della matrice

Gli elementi della prima riga di sono dati dalla differenza tra le coordinate cartesiane dei punti e , mentre le altre due righe sono le componenti dei vettori direttori delle rette che definiscono le rispettive equazioni parametriche.

Ancora una volta, se il determinante di è diverso da zero allora le rette sono sghembe, in caso contrario sono complanari.

Esempio (stabilire se due rette sono sghembe dalle equazioni cartesiane)

Verificare che

sono rette sghembe.

Svolgimento: consideriamo i punti

e i rispettivi vettori direzione

Costruiamo la matrice

e calcoliamone il determinante con lo sviluppo di Laplace riferito alla terza colonna

Dal momento che possiamo concludere che sono sghembe.

3) Rette sghembe in forma mista

Se una delle due rette () è in forma cartesiana e l'altra () è in forma parametrica, dobbiamo fare una scelta:

- trasformare  dalla forma cartesiana a quella parametrica e procedere come in 2), oppure

- passare dalla forma parametrica alla cartesiana di e ricadere nel caso 1).

Esempio (stabilire se due rette sono sghembe avendone una in forma cartesiana e l'altra in forma parametrica)

Verificare che

sono rette sghembe.

Svolgimento: le equazioni parametriche della retta sono

Per stabilire se sono rette sghembe dobbiamo calcolare il determinante della matrice

dove

Sostituendo nella matrice otteniamo

il cui determinante è non nullo

e ciò conferma che sono sghembe.

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Se volete approfondire lo studio della posizione reciproca tra rette dello spazio vi suggeriamo di leggere l'omonima lezione. Inoltre, come ulteriori approfondimenti sulle rette sghembe, potete leggere:

- angolo tra rette sghembe;

- distanza tra rette sghembe.