Soluzioni
  • Due rette incidenti nello spazio sono rette complanari che si intersecano esattamente in un punto, detto punto di incidenza (o punto di intersezione). In altre parole due rette dello spazio sono incidenti se appartengono allo stesso piano e se hanno uno e un solo punto in comune.

    Dallo studio delle posizioni tra due rette nello spazio sappiamo che due rette r,s possono essere complanari oppure sghembe:

    r,s sono rette sghembe se non esiste alcun piano che le contiene entrambe;

    r,s sono rette complanari se esiste un piano che le contiene entrambe.

    Da queste definizioni segue che due rette sghembe non possono avere alcun punto in comune, dunque due rette incidenti devono necessariamente essere complanari, ossia appartenere a uno stesso piano.

    Come stabilire se due rette dello spazio sono incidenti

    Siano Oxyz un riferimento cartesiano ortogonale ed r,s due rette di cui sono note le equazioni.

    Per stabilire se r,s sono rette incidenti oppure no basta attenersi ai seguenti passaggi.

    1) Ricavare un vettore \mathbf{v}_r di parametri direttori della retta r.

    A tal proposito ricordiamo che se r è in forma parametrica

    r: \begin{cases} x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt \end{cases} \mbox{ con } t\in \mathbb{R}

    allora possiamo considerare come vettore direzione

    \mathbf{v}_r=(l,m,n)

    Se invece r è in forma cartesiana

    r: \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases}

    se ne può ricavare un vettore direzione calcolando il prodotto vettoriale tra i vettori dei coefficienti direttori dei piani che la definiscono:

    \mathbf{v}_r=(l,m,n)=(a_1, b_1, c_1) \times (a_2, b_2, c_2)

    2) Determinare un vettore \mathbf{v}_s di parametri direttori della retta s, che indichiamo con

    \mathbf{v}_s=(l',m',n')

    3) Trovare le coordinate cartesiane di un punto P(x_P,y_P,z_P) della retta r e di un punto Q(x_Q,y_Q,z_Q) di s.

    4) Calcolare il determinate della matrice

    A=\begin{pmatrix}x_P-x_Q & y_P-y_Q & z_P-z_Q \\ l & m & n \\ l' & m' & n'\end{pmatrix}

    • Se \mbox{det}(A) \neq 0, le rette sono sghembe. Di conseguenza non possono essere incidenti e possiamo fermarci.

    • Se \mbox{det}(A) = 0, le rette sono complanari e possiamo passare al punto successivo.

    5) Calcolare il rango della matrice B che ha come righe le componenti dei vettori \mathbf{v}_r, \mathbf{v}_s

    B=\begin{pmatrix}l & m & n \\ l' & m' & n'\end{pmatrix}

    • Se \mbox{rk}(B)=1, le rette sono parallele coincidenti oppure parallele distinte, ma in ogni caso non sono incidenti.

    • Se \mbox{rk}(B)=2, le rette sono incidenti.

    In quest'ultimo caso per trovare le coordinate del loro punto di intersezione dobbiamo risolvere il sistema lineare formato dalle loro equazioni. Ovviamente conviene esprimere entrambe le equazioni nella stessa forma, ossia lavorare con entrambe le rette in forma cartesiana oppure con entrambe le rette in forma parametrica.

    Esempio sullo studio dell'incidenza di due rette nello spazio

    Siano date le rette

    \\ r: \ \begin{cases}x=1-t \\ y=t \\ z=1+2t\end{cases} \\ \\ \\ s: \ \begin{cases}2x-y-2=0 \\ x-z=0\end{cases}

    Stabilire se sono incidenti e, in caso di risposta affermativa, determinare il loro punto di incidenza.

    Svolgimento: per cominciare ricaviamo un vettore \mathbf{v}_r di parametri direttori di r.

    Dalla sua equazione in forma parametrica abbiamo subito che

    \mathbf{v}_r=(l,m,n)=(-1,1,2)

    Calcoliamo poi un vettore \mathbf{v}_s di parametri direttori di s.

    Poiché s è in forma cartesiana, un suo vettore direzione è dato dal prodotto vettoriale tra i vettori dei coefficienti direttori dei piani che definiscono la retta

    \mathbf{v}_s=(l',m',n')=(2,-1,0) \times (1,0,-1) = (1,2,1)

    Proseguiamo determinando le coordinate di un punto P \in r e di un punto Q \in s.

    Nell'equazione della retta r poniamo ad esempio t=0, e otteniamo il punto

    P(x_P,y_P,z_P)=(1,0,1) \in r

    Nell'equazione della retta s poniamo invece x=0 e ricaviamo il punto

    Q(x_Q,y_Q,z_Q)=(0,-2,0) \in s

    Costruiamo ora la matrice A che ha come elementi della prima riga la differenza delle coordinate dei punti P,Q, come elementi della seconda riga le componenti di \mathbf{v}_r e come elementi della terza riga le componenti di \mathbf{v}_s

    A=\begin{pmatrix}x_P-x_Q & y_P-y_Q & z_P-z_Q \\ l & m & n \\ l' & m' & n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&1 \\ -1&1&2 \\ 1&2&1\end{pmatrix}

    Il determinante di A è uguale a zero

    \mbox{det}(A)=0

    Per stabilirlo si può usare la regola di Sarrus oppure, molto più velocemente, osservare che la prima riga è uguale alla terza.

    Di conseguenza le rette r,s sono complanari. Per stabilire se sono incidenti calcoliamo il rango della matrice B che ha come righe i vettori \mathbf{v}_r, \mathbf{v}_s

    B=\begin{pmatrix}l & m & n \\ l' & m' & n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1&2 \\ 1&2&1\end{pmatrix}

    Il rango di B è 2, infatti la sottomatrice che si ottiene eliminando la terza colonna ha determinante non nullo

    \mbox{rk}(B)=2

    per cui r,s sono incidenti.

    Rimangono da calcolare le coordinate del loro punto di incidenza.

    Scriviamo la retta r in forma cartesiana passando dall'equazione parametrica all'equazione cartesiana

    r: \ \begin{cases}x+y-1=0 \\ 2y-z+1=0\end{cases}

    e risolviamo il sistema composto dalle equazioni cartesiane delle rette r,s

    \begin{cases}x+y-1=0 \\ 2y-z+1=0 \\ 2x-y-2=0 \\ x-z=0\end{cases}

    Usiamo il metodo di sostituzione. Ricaviamo x in funzione di z dall'ultima equazione del sistema e sostituiamo nelle altre

    \begin{cases}x=z \\ z+y-1=0 \\ 2y-z+1=0 \\ 2z-y-2=0\end{cases}

    Esplicitiamo la seconda equazione in favore di y e sostituiamo nella terza e nella quarta

    \begin{cases}x=z \\ y=-z+1 \\ 2(-z+1)-z+1=0 \\ 2z-(-z+1)-2=0\end{cases}

    Risolviamo le due equazioni di primo grado nell'incognita z

    \begin{cases}x=z \\ y=-z+1 \\ z=1 \\ z=1\end{cases}

    Come c'era da aspettarsi abbiamo ottenuto da entrambe lo stesso valore (z=1); sostituiamolo nella prima e nella seconda equazione

    \begin{cases}x=1 \\ y=-1+1=0 \\ z=1\end{cases}

    Ci siamo! Le rette r,s si intersecano nel punto P(1,0,1).

    ***

    È tutto... O quasi:

    - se vuoi vedere come si studia l'incidenza di due rette nel piano cartesiano - click!

    - se vuoi saperne di più sullo studio della posizione reciproca tra due rette nello spazio - click!

    Risposta di Galois
 
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