Soluzioni
  • Si dicono rette complanari due o più rette dello spazio che giacciono sullo stesso piano. Equivalentemente, due o più rette sono complanari se esiste un piano che contiene tutte le rette in esame.

     

    Posizioni tra rette complanari

    Esempio di rette complanari

     

    Posizioni reciproche tra rette complanari

     Secondo un teorema della Geometria Euclidea, se r,s sono rette complanari allora sono incidenti, o parallele distinte, o parallele coincidenti.

    Per chi avesse dubbi in merito ricordiamo che due rette si dicono:

    - incidenti se hanno uno e un solo punto in comune;

    - parallele distinte se non hanno alcun punto in comune;

    - parallele coincidenti se coincidono punto per punto, cioè se ogni punto di r è un punto di s e viceversa.

     

    posizioni-tra-due-rette-dello-spazio-complanari

     

    Viceversa, se due rette dello spazio sono incidenti, parallele distinte o parallele coincidenti, allora esiste almeno un piano che le contiene, ossia sono complanari.

    Studio della complanarità tra rette

    Vediamo ora com'è possibile dedurre se due rette r,s dello spazio sono complanari dalle rispettive equazioni. Per farlo supponiamo di essere in un sistema di riferimento ortonormale RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) e distinguiamo tre casi, analizzando separatamente i diversi modi con cui vengono assegnate le rette.

    1) Rette complanari in forma cartesiana

    Se le rette r,s sono assegnate in forma cartesiana, ossia si presentano come intersezione tra piani

    \\ r: \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases} \\ \\ \\ s: \begin{cases}a_3x+b_3y+c_3z+d_3=0 \\ a_4x+b_4y+c_4z+d_4=0\end{cases}

    per stabilire se sono complanari si deve calcolare il determinante della matrice

    A=\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1&d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4\end{pmatrix}

    le cui righe sono i coefficienti delle equazioni cartesiane dei piani che definiscono in coppia le due rette.

    Se il determinante di A è uguale a zero allora le due rette sono complanari; in caso contrario r,s sono rette sghembe.

    \mbox{det}(A)=0\ \Rightarrow\ \mbox{rette complanari}\\ \\ \mbox{det}(A)\neq 0\ \Rightarrow\ \mbox{rette sghembe}

    Esempio (Rette complanari in forma cartesiana)

    Provare che

    \\ r: \begin{cases}2x+y-z+3=0 \\ x+z=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\begin{cases}y-3z+3=0 \\ x+y+z=0\end{cases}

    sono rette complanari.

    Svolgimento: non dobbiamo fare altro che scrivere la matrice dei coefficienti dalle equazioni cartesiane e calcolarne il determinante

    \mbox{det}\begin{pmatrix}2&1&-1&3 \\ 1&0&1&0 \\ 0&1&-3&3 \\ 1&1&1&0\end{pmatrix}=0

    Per il calcolo del determinante si può procedere con la regola di Laplace o, molto più velocemente, osservare che la terza riga R_3 è combinazione lineare delle prime due

    R_3=R_1-2R_2

    e quindi il determinante è nullo.

    2) Rette complanari in forma parametrica

    Per studiare la complanarità tra rette in forma parametrica

    \\ r: \begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases} \\ \\ \\ s: \begin{cases}x=x_0'+l't \\ y=y_0'+m't \\ z=z_0'+n't\end{cases}

    è sufficiente calcolare il determinante della matrice

    A=\begin{pmatrix}x_0-x_0' & y_0-y_0' & z_0-z_0' \\ l & m & n \\ l' & m' & n'\end{pmatrix}

    Gli elementi della prima riga di A sono dati dalla differenza tra le coordinate cartesiane di due punti appartenenti, rispettivamente, alle rette r,s. Le altre due righe sono le componenti dei vettori direttori delle rette che definiscono le rispettive equazioni parametriche.

    Anche in questo caso, se il determinante di A è nullo allora le rette sono complanari, in caso contrario sono sghembe.

    \mbox{det}(A)=0\ \Rightarrow\ \mbox{rette complanari}\\ \\ \mbox{det}(A)\neq 0\ \Rightarrow\ \mbox{rette sghembe}

    Esempio (Rette complanari in forma parametrica)

    Verificare che

    \\ r: \begin{cases}x=4+2t \\ y=t \\ z=7-t\end{cases} \\ \\ \\ s:\begin{cases}x=1+t \\ y=-3+2t \\ z=5+3t\end{cases}

    sono rette complanari.

    Svolgimento: consideriamo i punti delle rette r,s che ne definiscono le equazioni parametriche

    \\ P_0(4,0,7) \in r \\ \\ P_0'(1,-3,5)\in s

    e i rispettivi vettori direzione

    \\ v_r=(l,m,n)=(2,1,-1) \\ \\ v_s=(l',m',n')=(1,2,3)

    dopodiché costruiamo la matrice

    \\ A=\begin{pmatrix}x_0-x_0' & y_0-y_0' & z_0-z_0' \\ l & m & n \\ l' & m' & n'\end{pmatrix}= \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}4-1 & 0-(-3) & 7-5 \\ 2&1&-1 \\ 1&2&3\end{pmatrix}= \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}3 & 3 & 2 \\ 2&1&-1 \\ 1&2&3\end{pmatrix}

    e calcoliamone il determinante. Procedendo con la regola di Sarrus lasciamo a voi il compito di verificare che \mbox{det}(A)=0, e ciò conferma la complanarità delle due rette. 

    3) Rette complanari in forma mista

    Se una delle due rette è data in forma cartesiana, diciamo r, e l'altra è in forma parametrica (s) possiamo scegliere di:

    - trasformare r dalla forma cartesiana a quella parametrica e procedere come in 2);

    oppure

    - passare dalla forma parametrica alla cartesiana di s e ricadere nel caso 1). 

    Esempio (Rette complanari in forma mista)

    Stabilire se le rette

    \\ r: \begin{cases}x-y=0 \\ y+z-1=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\begin{cases}x=1+2t \\ y=2t \\ z=5-2t\end{cases}

    sono complanari o meno.

    Svolgimento: determiniamo le equazioni parametriche della retta r. Poniamo

    x=t\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    e procediamo per sostituzione

    \begin{cases}x=t \\ t-y=0 \\ y+z-1=0\end{cases}

    Ricavando y dalla seconda equazione, sostituendone l'espressione nella terza ed esplicitandola rispetto a z si ottiene la forma parametrica di r

    \\ \begin{cases}x=t \\ y=t \\ t+z-1=0\end{cases}

    ossia

    r:\begin{cases}x=t \\ y=t \\ z=1-t\end{cases}

    Fatto ciò consideriamo la matrice

    A=\begin{pmatrix}x_0-x_0' & y_0-y_0' & z_0-z_0' \\ l & m & n \\ l' & m' & n'\end{pmatrix}

    dove

    (x_0,y_0,z_0)=(0,0,1) sono le coordinate di un punto di r;

    (x_0',y_0',z_0')=(1,0,5) sono le coordinate cartesiane di un punto di s;

    (l,m,n)=(1,1,-1) sono le componenti del vettore direzione di r;

    (l',m',n')=(2,2,-2) sono le componenti del vettore direzione di s.

    Effettuando le dovute sostituzioni, scopriamo che A è:

    A=\begin{pmatrix}-1 & 0 & -4 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2\end{pmatrix}

    Il suo determinante è nullo, infatti la terza riga è il doppio della seconda, e quindi r,s sono complanari.

    Studio della posizione reciproca tra rette complanari

    Dopo aver stabilito se due rette r,s sono complanari, si può procedere oltre e studiare la loro posizione reciproca, ossia controllare se sono incidenti, parallele distinte o parallele coincidenti.

    A tal proposito si deve considerare la matrice le cui righe sono le componenti dei vettori direzione delle due rette 

    B=\begin{pmatrix}l&m&n \\ l'&m'&n'\end{pmatrix} 

    Se il rango di B è 2 le rette sono incidenti, se è 1 sono parallele (distinte o coincidenti).

    In quest'ultimo caso, se un qualsiasi punto di r appartiene alla retta s o, viceversa, un qualsiasi punto di s giace anche su r, le due rette sono paralleli coincidenti, in caso contrario sono parallele distinte.

    Esempio (Studio della posizione reciproca tra rette complanari)

    Riprendiamo le rette

    \\ r: \begin{cases}x-y=0 \\ y+z-1=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\begin{cases}x=1+2t \\ y=2t \\ z=5-2t\end{cases}

    Abbiamo già provato che sono complanari ne abbiamo già scritto i vettori direzione

    \\ \mathbf{v}_r=(l,m,n)=(1,1,-1) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')=(2,2,-2)

    Evidentemente, il rango della matrice

    B=\begin{pmatrix}l&m&n \\ l'&m'&n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 2&2&-2\end{pmatrix}

    è 1, dunque le rette sono parallele.

    Per stabilire se sono parallele distinte o coincidenti consideriamo un punto della retta s, ad esempio P_s(1,0,5).

    Sostituendone le coordinate nelle equazioni che definiscono r è immediato osservare che P_s \notin r, per cui abbiamo a che fare con una coppia di rette parallele distinte.

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, se non consigliarvi la lettura della lezione sulle posizioni tra rette dello spazio. ;)

    Risposta di Galois
 
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