Soluzioni
  • Due rette complanari sono, per definizione, due rette nello spazio che giacciono nello stesso piano; la condizione di complanarietà viene individuata da condizioni algebriche ben precise.

    Come capire se due rette sono complanari nello spazio

    Vista la definizione vediamo ora com'è possibile dedurre dalle equazioni di due rette se esse sono complanari. Per farlo distinguiamo tre casi.

    1) Rette complanari in forma cartesiana

    Le rette vengono date in forma cartesiana, vale a dire nella forma:

    r: \begin{cases}a_1 x +b_1 y + c_1 z + d_1 =0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 \end{cases} \ \ \ s: \begin{cases}a_3 x +b_3 y + c_3 z + d_3 =0 \\ a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4 = 0 \end{cases}

    Per stabilire se le due rette in forma cartesiana sono complanari dobbiamo calcolare il determinante della matrice:

    \left[\begin{matrix}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{matrix}\right]

    Se tale determinante è uguale a zero, le due rette sono complanari, altrimenti sono rette sghembe.

    2) Rette complanari in forma parametrica

    Entrambe le rette hanno equazioni in forma parametrica, ossia:

    r: \begin{cases}x=x_0 + lt \\ y=y_0 + mt \\ z=z_0+nt\end{cases}\ \ \ s: \begin{cases}x=x'_0+l't \\ y=y'_0+m't \\ z=z'_0+n't \end{cases} \ \ t \in \mathbb{R}

    in questo caso, per vedere se le due rette in forma parametrica sono complanari dovremo calcolare il determinante della matrice:

    \left[\begin{matrix}x'_0 - x_0 & y'_0-y_0 & z'_0-z_0 \\ l & m & n \\ l' & m' & n' \end{matrix}\right]

    Se il determinante di tale matrice è uguale a zero, ovvero se la matrice non ha rango massimo allora le due rette sono complanari.

    3) Rette complanari in forma mista

    Abbiamo una retta r in forma cartesiana ed una retta s in forma parametrica.

    In questo caso possiamo scegliere di:

    - trasformare r dall'equazione cartesiana all'equazione parametrica e quindi ricadere nel caso 2);

    oppure

    - scrivere s dalla forma parametrica alla forma cartesiana e ricadere così nel caso 1).

    Prima di concludere, oltre ad invitarti a leggere le lezioni che ho linkato nel corso della spiegazione, ti voglio segnalare un importantissimo teorema della Geometria Euclidea:

    due rette sono complanari se e solo se sono incidenti o sono parallele.

    Come utilizzare tale risultato a nostro favore? Se abbiamo a che fare con rette parallele oppure con rette incidenti nello spazio possiamo concludere immediatamente che sono complanari, senza fare alcuna verifica.

    È tutto: per ulteriori approfondimenti puoi leggere la lezione di riferimento dedicata alle posizioni tra due rette nello spazio. ;)

    Risposta di Omega
 
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