Soluzioni
  • Prende il nome di matrice diagonale una matrice quadrata in cui gli elementi che non appartengono alla diagonale principale sono tutti nulli. In altri termini, una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui solo i valori della diagonale principale possono essere diversi da zero.

    Volendo esprime in formule la definizione di matrice diagonale diremo che:

    A=(a_{ij}) \in Mat(n,n,\mathbb{K}) \mbox{ matrice diagonale}\ \iff\ a_{ij}=0 \mbox{ per ogni } i \neq j

    Esempi

    Sono esempi di matrici diagonali

    \begin{pmatrix}5&0 \\ 0&2\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}-7&0&0 \\ 0&4&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}

    mentre, non sono matrici diagonali

    \begin{pmatrix}0&4 \\ 0&-1\end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}9&0&1 \\ 0&7&0 \\ 0&0&-21 \end{pmatrix} \ \ \ \begin{pmatrix}0&0&0&1 \\ 0&-1&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}

    Proprietà della matrice diagonale

    Per com'è definita, si vede immediatamente che ogni matrice diagonale è:

    - una matrice simmetrica;

    - una matrice triangolare, sia superiore che inferiore;

    - una matrice a gradini, infatti ogni elemento diverso da zero di ogni riga è più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente.

    Inoltre, se anche gli elementi della diagonale principale sono tutti nulli allora si ricade nella matrice nulla; se invece a_{ii}=1 per ogni i \in \{1,2,...,n\} allora si incorre nella matrice identità.

    Operazioni tra matrici diagonali

    Per quanto concerne le operazioni tra matrici, la somma tra matrici diagonali dello stesso ordine, così come il prodotto riga per colonna, restituiscono una nuova matrice diagonale.

    In particolare, il prodotto tra matrici diagonali si semplifica in una moltiplicazione termine a termine, ossia

    \begin{pmatrix}a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0&a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ 0&0&\ddots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&\cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0&b_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ 0&0&\ddots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&\cdots & b_{nn} \end{pmatrix} =\\ \\ \\ = \begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0&a_{22}\cdot b_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ 0&0&\ddots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&\cdots & a_{nn}\cdot b_{nn} \end{pmatrix}

    Rango, determinante, autovalori e autovettori della matrice diagonale

    Il calcolo di rango, determinante, autovalori e autovettori di una matrice diagonale è pressoché immediato, infatti:

    - il rango di una matrice diagonale è pari al numero degli elementi non nulli della diagonale principale;

    - il determinante è dato dal prodotto degli elementi della diagonale;

    - gli autovalori sono gli elementi della diagonale principale e gli autovettori sono i vettori colonna della matrice.

    Esempio

    Consideriamo la seguente matrice diagonale

    A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&-3\end{pmatrix}

    Gli elementi non nulli della diagonale principale sono 3, dunque il rango di A è 3.

    Il suo determinante è pari al prodotto degli elementi della diagonale, ossia

    \mbox{det}(A)=1 \cdot 2 \cdot (-3) = -6

    I suoi autovalori sono \lambda_1=1, \ \lambda_2=2, \ \lambda_3=-3 e i rispettivi autovettori sono

    \mathbf{v}_1=(1,0,0), \ \mathbf{v}_2=(0,2,0), \ \mathbf{v}_3=(0,0,-3)

    ***

    Operare con le matrici diagonali è davvero semplice ed è proprio questo il motivo per cui, quando possibile, ci si riconduce a esse tramite quello che viene detto processo di diagonalizzazione, che trovate spiegato nella lezione del link.

    ***

    Alla prossima! Per fare un ripasso sui vari tipi di matrici - click!

    Risposta di Galois
 
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