Soluzioni
  • Una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui solo i valori della diagonale principale possono essere diversi da zero

    Per intenderci meglio, le seguenti sono tutte matrici diagonali

    \left[\begin{matrix}5 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right] \ \ \ \left[\begin{matrix}-7 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \ \ \  \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right]

    mentre non sono matrici diagonali

    \left[\begin{matrix}0 & 4 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \ \ \ \left[\begin{matrix}9 & 0 & 1 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -21 \end{matrix} \right] \ \ \  \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right]

    C'è una formuletta che permette di esprimere in matematichese la definizione di matrice diagonale;

    detta A una matrice quadrata, a coefficienti reali, di ordine n, in simboli A=(a_{ij}) \in \mbox{Mat}(\mathbb{R},n,n)

    essa è diagonale se e solo se per ogni i,j \in \{1,2,...,n\} \ \mbox{con} \ i \neq j: \ a_{ij}=0

    Per com'è definita si vede immediatamente che le matrici diagonali sono matrici simmetrice e triangolari sia superiori che inferiori. Per approfondire ulteriormente questi concetti leggi l'articolo sui tipi di matrici - click!

    Inoltre se gli elementi della diagonale principale sono tutti uguali ad 1 ricadiamo della matrice identità.

     

    Le proprietà di cui godono le matrici diagonali permettono si semplificare notevolmente il calcolo del determinante e il calcolo degli autovalori e degli autovettori associati ad una matrice, infatti:

    - il determinante di una matrice diagonale è dato semplicemente dal prodotto degli elementi della diagonale;

    - gli autovalori sono gli elementi della diagonale principale;

    - i vettori colonna della matrice diagonale costituiscono i suoi autovettori.

     

    Così, ad esempio, se abbiamo la matrice diagonale

    A=\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{matrix}\right]

    il suo determinante è dato dal prodotto dei tre elementi della diagonale principale, ovvero

    \mbox{det(A)}=1 \cdot 2 \cdot (-3) = -6

    I suoi autovalori sono i tre elementi della diagonale, cioè \lambda_1=1, \ \lambda_2=2, \ \lambda_3 = -3 e gli autovettori ad essi associati sono i tre vettori colonna

    v_1=(1,0,0) \ v_2=(0,2,0) \ v_3=(0,0,-3)

     

    Ti sarai reso conto di com'è semplice operare e fare calcoli con le matrici diagonali. Per questo motivo, molto spesso, quando è possibile, si preferisce ricondursi ad esse. Come? Diagonalizzando la matrice di partenza ;)

    Per approfondire: matrici diagonalizzabili - click!

    Risposta di Galois
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