Proiezione ortogonale

Una proiezione ortogonale è il risultato della trasposizione di un ente geometrico su un altro, effettuata perpendicolarmente rispetto al secondo ente (e in questo senso ortogonale); ad esempio si possono proiettare ortogonalmente un punto o un segmento su una retta, o ancora un punto, un segmento, una retta o una figura su un piano.

Per rispondere al meglio procediamo con ordine e analizziamo separatamente i casi più frequenti negli esercizi, arricchendo il tutto con dei disegni che non lasceranno spazio a dubbi. ;)

Proiezione ortogonale di un punto su una retta

Se è un punto ed è una retta, la proiezione ortogonale del punto sulla retta è il piede della perpendicolare condotta da ad .

In altri termini, per ottenere la proiezione di un punto su una retta basta tracciare una retta passante per il punto e perpendicolare alla retta . L'intersezione tra la retta e la retta è proprio la proiezione cercata.

Per chi è alle prese con lo studio della Geometria dello Spazio → proiezione di un punto su una retta.

Proiezione ortogonale di un punto su una retta.

Proiezione ortogonale di un segmento su una retta

Come ben sappiamo un segmento è individuato da due punti, detti estremi. La proiezione di un segmento su una retta è ancora un segmento, e si ottiene unendo le proiezioni ortogonali dei suoi estremi sulla retta.

Nella seguente figura, per ottenere la proiezione del segmento sulla retta , abbiamo semplicemente trovato e unito le proiezioni dei punti sulla retta.

Proiezione ortogonale di un segmento su una retta.

Proiezione ortogonale di un punto su un piano

Per trovare la proiezione ortogonale di un punto su un piano basta tracciare una retta passante per il punto e perpendicolare al piano. L'intersezione tra la retta e il piano è il punto proiezione del punto .

Per chi è alle prese con lo studio della Geometria dello Spazio → proiezione di un punto su un piano.

Proiezione ortogonale di un punto su un piano.

Proiezione ortogonale di un segmento su un piano

La proiezione ortogonale di un segmento su un piano si ottiene unendo le proiezioni sul piano dei suoi due estremi, come mostrato nella seguente figura.

Per chi è alle prese con lo studio della Geometria dello Spazio → proiezione di una retta su un piano.

Proiezione ortogonale di un segmento su un piano.

Proiezione ortogonale di una figura su un piano

Per trovare la proiezione ortogonale di una figura su un piano basta trovare, come visto nel caso precedente, la proiezione ortogonale dei suoi lati (segmenti) sul piano.

Se ad esempio consideriamo un triangolo , la sua proiezione ortogonale sarà ancora un triangolo .

Per ottenerlo non abbiamo fatto altro che proiettare sul piano i segmenti ottenendo i tre segmenti proiezione .

Proiezione ortogonale di una figura su un piano.

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Ci fermiamo qui. In realtà, seguendo le regole che abbiamo esposto nella spiegazione, si possono considerare diversi altri tipi di proiezioni ortogonali in base al tipo di ente proiettato.

A titolo di cronaca vi è anche una vasta parte dell'Algebra Lineare che si occupa di formalizzare il concetto di proiezione, e ad esempio si parla di proiezione di un vettore su un sottospazio, ma questo è un discorso che riguarda gli studenti universitari. ;)