Soluzioni
  • Un quadrato perfetto è un numero intero non negativo che può essere espresso come il quadrato di un numero intero non negativo. In altre parole un numero naturale n è un quadrato perfetto se esiste un numero naturale m tale m2=n.

    Equivalentemente si può dire che i quadrati perfetti sono lo zero e tutti i numeri interi positivi la cui radice quadrata è un numero intero.

    Ecco alcuni esempi di quadrati perfetti:

    • 121, infatti è il quadrato di 11 (121=112).

    • 196, che si può esprimere come quadrato di 14 (196=142).

    • 225, perché 225=152.

    Quadrati perfetti da 1 a 1000

    Ecco l'elenco di tutti i quadrati perfetti da 1 a 1000:

    1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961

    che corrispondono ai quadrati dei numeri naturali compresi tra 1 e 31.

    Come capire se un numero è un quadrato perfetto

    Per capire se un numero è un quadrato perfetto basta calcolarne la scomposizione in fattori primi, scriverla in forma compatta e osservare gli esponenti dei fattori della scomposizione:

    • se gli esponenti sono tutti numeri pari, il numero considerato è un quadrato perfetto;

    • se almeno un esponente è un numero dispari, il numero non è un quadrato perfetto.

    Con qualche esempio sarà tutto più chiaro.

    1) Stabilire se 324 è un quadrato perfetto.

    Svolgimento: scomponiamo 324 in fattori primi

    \begin{array}{c|c}324&2 \\ 162&2 \\ 81&3 \\ 27&3 \\ 9&3 \\ 3&3 \\ 1&\end{array}

    Scriviamo la scomposizione in forma compatta

    324=2^2 \times 3^4

    Gli esponenti dei fattori presenti nella scomposizione sono numeri pari, per cui 324 è un quadrato perfetto.

    Anche se non è richiesto possiamo trovare il numero positivo il cui quadrato è 324. Per farlo è sufficiente calcolare la radice quadrata di 324 dimezzando gli esponenti:

    \sqrt{324}=\sqrt{2^2 \times 3^4} = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18

    In definitiva 324 è il quadrato di 18.

    2) 84 è un quadrato perfetto?

    Svolgimento: scomponiamo 84 in fattori primi

    \begin{array}{c|c}84&2 \\ 42&2 \\ 21&3 \\ 7&7 \\ 1&\end{array}

    e otteniamo

    84=2^2 \times 3 \times 7

    Gli esponenti dei fattori primi 3 e 7 sono uguali a 1, che è un numero dispari, per cui 84 non è un quadrato perfetto.

    3) Verificare che 400 è un quadrato perfetto.

    Svolgimento: oramai dovrebbe essere chiaro come si procede.

    Partiamo dalla scomposizione in primi di 400

    \begin{array}{c|c}400&2 \\ 200&2 \\ 100&2 \\ 50&2 \\ 25&5 \\ 5&5 \\ 1&\end{array}

    da cui ricaviamo

    400=2^4 \times 5^2

    Poiché gli esponenti dei fattori primi sono numeri pari, 400 è un quadrato perfetto.

    ***

    Per concludere ti consigliamo la lettura delle nostre lezioni sulle potenze e sulla radice quadrata.

    Sappi inoltre che qui su YouMath è disponibile un tool per la scomposizione in fattori primi online - click!

    Risposta di Galois
 
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