Soluzioni
  • Un quadrato perfetto è un numero intero non negativo che è il quadrato di un altro numero intero. Non è chiaro? Proviamo con i numeri.

    1) 4 è un quadrato perfetto perché è il quadrato di 2, ed infatti 22= 4;

    2) 1 è un quadrato perfetto perché è il quadrato di 1, ed infatti 12=1;

    3) 121 è un quadrato perfetto perché è il quadrato di 11, ed infatti 112=121.

     

    Come facciamo a comprendere che un numero intero è un quadrato perfetto? 

    Per rispondere a questa domanda, seguiremo due semplici passaggi, e per chiarirti meglio le idee, procederemo con un esempio.

    Ci chiediamo se il numero 7056 è un numero perfetto oppure no.

    1. Scomponiamo il numero in fattori primi:

    \begin{array}{r|l}7056 & 2\\ 3528& 2\\ 1764& 2\\ 882& 2\\ 441 & 3\\ 147&3\\ 49&7\\ 7&7\\ 1&\end{array}

    Possiamo scrivere che 7056=2^{\color{red}4}\color{black}\times 3^{\color{red}2}\color{black}\times 7^{\color{red}2}\color{black}

    2. Controlliamo gli esponenti delle potenze che compaiono nella scomposizione:

    - se tutti gli esponenti, nessuno escluso, sono numeri pari allora il numero in questione è un quadrato perfetto;

    - se almeno un esponente dispari allora il numero non è un quadrato perfetto.

    Nel nostro esempio abbiamo 4 che è l'esponente di 2, siamo contenti perché è pari, così come è pari sia l'esponente di 3, ovvero 2, che l'esponente di 7, ovvero 2. Poiché gli esponenti di tutti i fattori primi sono pari allora il numero 7056 è un quadrato perfetto.

     

    Un altro esempio!

    Il numero 180 non è un quadrato perfetto vediamo il perché:

    1. Scomponiamo il numero in fattori primi:

    \begin{array}{r|l}180 & 2\\ 90 & 2\\ 45 & 5\\ 9 & 3\\3 & 3\\1 &\end{array}

    Scriveremo che 180= 2^2\times 3^2\times 5

    2. Controlliamo gli esponenti: in questo caso l'esponente di 5 è 1, e non è pari!

    Risposta di Ifrit
 
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