Riduzione al primo quadrante

La riduzione al primo quadrante si effettua mediante le formule degli angoli associati, e permette di esprimere una funzione goniometrica riferita a un angolo del II, III o IV quadrante come una funzione goniometrica associata a un angolo del I quadrante che abbia lo stesso valore della funzione di partenza.

Tra poco saremo più precisi e vedremo come si procede, ma prima riteniamo opportuno ricordare cosa significa che un angolo appartiene al primo, secondo, terzo oppure quarto quadrante.

Disegniamo la circonferenza goniometrica, ossia la circonferenza del piano cartesiano con centro nell'origine degli assi e raggio uguale a 1.

Circonferenza goniometrica.

Consideriamo un angolo qualsiasi di ampiezza compresa tra 0° e 360°.

Laddove fosse maggiore di un angolo giro basterebbe sottrarre ad esso 360°, eventualmente più volte, fino a ottenere un angolo compreso tra 0° e 360°.

Assumiamo l'origine come vertice, fissiamo come primo lato dell'angolo il semiasse delle ascisse positive e muoviamoci in senso antiorario descrivendo un angolo della stessa ampiezza di .

Il secondo lato dell'angolo interseca la circonferenza goniometrica in un punto .

Angolo sulla circonferenza goniometrica.

Ciò premesso, si dice che è un angolo del primo, secondo, terzo o quarto quadrante se il punto appartiene rispettivamente al primo, secondo, terzo o quarto quadrante del piano cartesiano.

È evidente che:

• un angolo del primo quadrante ha un'ampiezza compresa tra 0° e 90° o, equivalentemente, tra 0 e radianti

• Un angolo del secondo quadrante ha un'ampiezza compresa tra 90° e 180° o, equivalentemente, tra e radianti

e si può esprimere come differenza tra 180° e un opportuno angolo del primo quadrante, oppure come somma tra 90° e un opportuno angolo del primo quadrante

• Un angolo del terzo quadrante ha un'ampiezza compresa tra 180° e 270° o, equivalentemente, tra e radianti

e si può esprimere come differenza tra 270° e un opportuno angolo del primo quadrante, oppure come somma tra 180° e un opportuno angolo del primo quadrante

• Un angolo del quarto quadrante ha un'ampiezza compresa tra 270° e 360° o, equivalentemente, tra e radianti

e si può esprimere come differenza tra 360° e un opportuno angolo del primo quadrante, oppure come somma tra 270° e un opportuno angolo del primo quadrante

Come si effettua una riduzione al primo quadrante

Per ridurre al primo quadrante una funzione goniometrica associata a un angolo del secondo, terzo o quarto quadrante basta ricordare le formule degli angoli associati per seno e coseno, che elenchiamo qui di seguito.

Da esse si possono poi ricavare le formule degli angoli associati per tangente e cotangente, e per ogni altra funzione goniometrica.

Esempi di riduzioni al primo quadrante

Proponiamoci di calcolare i valori del seno di 120°, del coseno di 225° e della tangente di 330° mediante riduzioni al primo quadrante.

1)

120° è un angolo del secondo quadrante e lo possiamo esprimere come somma tra 90° e 30°, oppure come differenza tra 180° e 60°

Nel primo caso abbiamo che:

Nel secondo:

In entrambe le situazioni ci siamo ricondotti a funzioni goniometriche di angoli del primo quadrante, di cui dovremmo ricordare i valori a memoria.

Sia il coseno di 30 gradi che il seno di 60 gradi valgono √3/2, per cui

2)

225° è un angolo del terzo quadrante che possiamo esprimere come somma tra 180° e 45° oppure come differenza tra 270° e 45°

Per le formule sugli archi associati abbiamo allora che

oppure

3)

330° è un angolo del quarto quadrante. Decidiamo di esprimerlo come differenza tra 360° e 30° e abbiamo che

per definizione di tangente di un angolo

Applichiamo le formule per gli archi associati

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Ci fermiamo qui! Per le dimostrazioni delle formule sugli archi associati ti rimandiamo alla lezione del link.

Se invece ti serve una tabella sui valori notevoli delle funzioni goniometriche - click!