Soluzioni
  • L'unità immaginaria è un numero complesso definito come la radice quadrata di -1, a partire dal quale vengono definiti tutti i numeri complessi e la cui rappresentazione nel piano di Argand-Gauss è il punto di coordinate (0,1).

    Definizione di unità immaginaria i

    Si definisce unità immaginaria e si indica generalmente con la lettera i la radice quadrata di -1:

    i:=\sqrt{-1}

    dove il simbolo := si legge "uguale per definizione".

    Introduzione dell'unità immaginaria i per estendere l'insieme dei numeri reali

    L'introduzione del numero immaginario i permette di estendere l'insieme dei numeri reali all'insieme dei numeri complessi e, per capirne appieno l'utilità, consideriamo la seguente equazione di secondo grado:

    x^2+1=0

    Come ben sappiamo tale equazione non ha radici reali poiché richiede di eguagliare a zero la somma tra un quadrato (x^2), che è una quantità maggiore o uguale a zero \forall x\in\mathbb{R}, e una quantità positiva (1).

    Se però ci spostiamo in campo complesso tale equazione ammette due radici distinte:

    i\ \ \ ;\ \ \ -i

    In breve l'introduzione dell'unità immaginaria fa sì che venga soddisfatto il corollario del teorema fondamentale dell'Algebra, per il quale ogni polinomio di grado n ammette esattamente n radici contate ciascuna con la propria molteplicità.

    Per saperne di più (anche da un punto di vista storico): introduzione ai numeri complessi.

    Proprietà dell'unità immaginaria i

    Essendo una delle costanti matematiche fondamentali, l'unità immaginaria ha tantissime proprietà più o meno avanzate. Qui ci limitiamo ad elencare le tre proprietà più basilari che la caratterizzano.

    1) L'unità immaginaria è un numero immaginario, cioè un numero la cui forma algebrica ha parte reale nulla.

    2) Rappresentazione dell'unità immaginaria nel piano di Argand-Gauss: la coppia di coordinate dell'unità immaginaria nel piano complesso è

    (0,1)\ \ \to\ \ \begin{cases}\mbox{Re}(i)=0\\ \mbox{Im}(i)=1\end{cases}

    3) Una proprietà importantissima dell'unità immaginaria che ci semplifica notevolmente la vita è che le potenze di i sono cicliche di ordine 4, ossia si ripetono con periodo 4.

    Per intenderci:

    \begin{matrix} i^0=1 & \ \ \ & i^4=1 & \ \ \ & i^8=1\\ \\ i^1=i & \ \ \ & i^5=i &\ \ \ & i^9=i\\ \\ i^2=-1 & \ \ \ & i^6=-1 & \ \ \ & i^{10}=-1 \\ \\ i^3=-i & \ \ \ & i^7=-i & \ \ \ & i^{11}=-i\end{matrix}

    e così via. Più precisamente, una qualsiasi potenza di i con esponente dato da un numero naturale

    i^n\ \ \ \mbox{con }n\in\mathbb{N}

    coincide con la potenza di i avente come esponente il resto della divisione n:4.

    Per comprendere perché le potenze di i siano cicliche è sufficiente ricorrere alle proprietà delle potenze per scrivere i^n,\ n\in\mathbb{N} come prodotto con fattori tra i, \ i^2, \ i^3, \ i^4.

    Ad esempio

    i^{18}=i^9 \cdot i ^9 = (\underbrace{i^3}_{-i})^3 \cdot (\underbrace{i^3}_{-i})^3 = (-i)^3 \cdot (-i)^3 = i \cdot i = i^2 = -1

    ***

    Per approfondire: teoria, esempi ed esercizi svolti sui numeri complessi.

    Risposta di Galois
 
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