Unità immaginaria

L'unità immaginaria è un numero complesso definito come la radice quadrata di -1, a partire dal quale vengono definiti tutti i numeri complessi e la cui rappresentazione nel piano di Argand-Gauss è il punto di coordinate (0,1).

Definizione di unità immaginaria i

Si definisce unità immaginaria e si indica generalmente con la lettera la radice quadrata di -1:

dove il simbolo si legge "uguale per definizione".

Introduzione dell'unità immaginaria i per estendere l'insieme dei numeri reali

L'introduzione del numero immaginario i permette di estendere l'insieme dei numeri reali all'insieme dei numeri complessi e, per capirne appieno l'utilità, consideriamo la seguente equazione di secondo grado:

Come ben sappiamo tale equazione non ha radici reali poiché richiede di eguagliare a zero la somma tra un quadrato , che è una quantità maggiore o uguale a zero , e una quantità positiva

Se però ci spostiamo in campo complesso tale equazione ammette due radici distinte:

In breve l'introduzione dell'unità immaginaria fa sì che venga soddisfatto il corollario del teorema fondamentale dell'Algebra, per il quale ogni polinomio di grado ammette esattamente radici contate ciascuna con la propria molteplicità.

Per saperne di più (anche da un punto di vista storico): introduzione ai numeri complessi.

Proprietà dell'unità immaginaria i

Essendo una delle costanti matematiche fondamentali, l'unità immaginaria ha tantissime proprietà più o meno avanzate. Qui ci limitiamo ad elencare le tre proprietà più basilari che la caratterizzano.

1) L'unità immaginaria è un numero immaginario, cioè un numero la cui forma algebrica ha parte reale nulla.

2) Rappresentazione dell'unità immaginaria nel piano di Argand-Gauss: la coppia di coordinate dell'unità immaginaria nel piano complesso è

3) Una proprietà importantissima dell'unità immaginaria che ci semplifica notevolmente la vita è che le potenze di i sono cicliche di ordine 4, ossia si ripetono con periodo 4.

Per intenderci:

e così via. Più precisamente, una qualsiasi potenza di i con esponente dato da un numero naturale

coincide con la potenza di i avente come esponente il resto della divisione .

Per comprendere perché le potenze di i siano cicliche è sufficiente ricorrere alle proprietà delle potenze per scrivere come prodotto con fattori tra .

Ad esempio

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Per approfondire: teoria, esempi ed esercizi svolti sui numeri complessi.