Soluzioni
  • Si dice matrice quadrata una matrice che ha tante righe quante sono le colonne. In altri termini nelle matrici quadrate il numero di righe uguaglia il numero di colonne; tale numero prende il nome di ordine della matrice.

    Esempi

    A=\begin{pmatrix}2\end{pmatrix} è una matrice quadrata di ordine 1.

    B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} è una matrice quadrata di ordine 2.

    C=\begin{pmatrix}1&0&2 \\ 0&0&2 \\ 1&1&0\end{pmatrix} è una matrice quadrata di ordine 3.

    Non sono, invece, matrici quadrate

    \\ D=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ E=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0 \\ 2&5\end{pmatrix}

    La matrice D ha infatti 2 righe e 3 colonne, mentre la matrice E è formata da 3 righe e 2 colonne. Matrici di questo tipo, in cui il numero di righe è diverso dal numero di colonne, vengono dette matrici rettangolari.

    Caratteristiche e proprietà delle matrici quadrate

    Le matrici quadrate rivestono un ruolo fondamentale in Algebra Lineare. Sono infatti le uniche matrici per cui sono definiti i concetti di:

    - determinante;

    - traccia;

    - autovalori e autovettori;

    - matrice inversa.

    Inoltre, sono le uniche matrici che sotto opportune ipotesi possono essere diagonalizzate, triangolarizzate e a cui si può associare la forma canonica di Jordan.

    Spazio delle matrici quadrate

    Fissiamo un numero naturale n \ge 1 e indichiamo con \mathbb{K}^{n,n} l'insieme di tutte le matrici quadrate di ordine n a elementi nel campo \mathbb{K}, quale potrebbe essere il campo \mathbb{R} dei numeri reali o il campo \mathbb{C} dei numeri complessi.

    Siano, inoltre, + l'operazione di somma tra matrici e \cdot l'operazione di prodotto di una matrice per uno scalare.

    La struttura \left(\mathbb{K}^{n,n}, +, \cdot \right) è uno spazio vettoriale sul campo \mathbb{K} detto spazio delle matrici quadrate; solitamente si indica con Mat_n(\mathbb{K}) o con Mat(n,n,\mathbb{K}) e la sua dimensione è n^2.

    ***

    That's all! Per saperne di più circa lo spazio vettoriale di matrici vi rimandiamo alla pagina del link, se invece volete fare un ripasso sulle varie tipologie di matrici - click!

    Risposta di Galois
 
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