Soluzioni
  • Per le funzioni di una variabile, un punto stazionario è un punto interno al dominio della funzione che annulla la sua derivata prima.

    Definizione di punti stazionari

    Consideriamo una funzione y=f(x) che ha per dominio un insieme I e a valori in \mathbb{R}. Un punto x=a interno all'insieme I si dice punto stazionario se:

    1) La funzione f è derivabile in x=a;

    2) La derivata prima di f si annulla in x=a:\ f'(a)=0

    Per trovare i punti stazionari quindi, dobbiamo alla fine della fiera risolvere l'equazione 

    f'(x)=0

    Classificazione dei punti stazionari

    Un punto stazionario può essere di diversi tipi.

    • Punto di minimo

    ad esempio, la funzione

    f(x)=x^2

    ha come unico punto stazionario x=0, infatti la sua derivata prima 

    f'(x)=2x

    si annulla solo per x=0. Esso è anche punto di minimo e lo si può dedurre grazie allo studio del segno della derivata prima (come studiare massimi e minimi di una funzione).

    Risulta infatti che la derivata prima è

    - positiva se x>0

    - negativa se x<0

    pertanto la funzione f(x)=x^2 è

    - crescente se x>0

    - decrescente se x<0

    • Punto di massimo

    Ad esempio la funzione

    y=-x^2

    ha per punto stazionario x=0. La derivata prima della funzione è

    f'(x)= -2x

    e si annulla solo per x=0. Che esso sia un punto di minimo lo si capisce grazie alle osservazioni dell'esempio precedente e considerando le regole del grafico intuitivo, oppure nulla vieta di procedere con lo studio del segno della derivata prima. Quest'ultima è:

    - positiva se x<0,

    - negativa se x>0,

    pertanto la funzione è 

    - crescente per x<0

    - decrescente per x>0

    • Punto di flesso a tangente orizzontale

    Ad esempio la funzione

    f(x)=(x-1)^3

    ha per punto stazionario x=1, infatti la sua derivata prima

    f'(x)= 3(x-1)^2

    si annulla per x=1. Se studiamo il segno della derivata prima vediamo subito che essa è sempre positiva per x\neq 1, di conseguenza la funzione f(x)=(x-1)^3 cresce sempre e non si hanno variazioni di monotonia.

    Significato geometrico dei punti stazionari

    Geometricamente un punto stazionario è l'ascissa di un punto del grafico della funzione in cui la retta tangente è parallela all'asse delle ascisse.

     

    Punti stazionari

     

    In blu, la retta tangente al punto di minimo, in verde la retta tangente al punto di flesso a tangente orizzontale, in rosso la retta tangente al punto di massimo.  

    Osservazione (un punto stazionario deve essere interno al dominio)

    Perché un punto stazionario deve essere un punto interno al dominio? Semplicemente perché deve soddisfare le ipotesi del teorema di Fermat

    Osservazione (punti stazionari e punti critici)

    Spesso la nozione di punto stazionario viene confusa con quella di punto critico. In realtà si tratta di concetti ben distinti tra loro: i punti stazionari sono sempre punti critici, ma viceversa non è detto che un punto critico sia necessariamente un punto stazionario.

    Per esempio il punto x=0 è un punto critico per la funzione f(x)=|x|, ma non è un punto stazionario.

    Se vuoi approfondire e applicare quanto visto nella pratica puoi sempre usare il tool per il grafico online. ;)


    Punti stazionari per funzioni di due variabili (o più variabili)

    Un punto interno al dominio di una funzione di due variabili si dice punto stazionario se la funzione in questione è ivi differenziabile ed inoltre annulla il gradiente della funzione.

    Formalmente: consideriamo una funzione z=f(x,y) definita su un insieme A\subset\mathbb{R}^2. Diremo che (x_0, y_0), punto interno di A, è un punto stazionario se e solo se valgono le due condizioni:

    1) la funzione f è differenzibile in (x_0,y_0);

    2) \nabla f(x_0,y_0)=0

    Ovviamente per trovare un punto stazionario per funzioni di due variabili dovremo risolvere il sistema che discende dalla condizione di annullamento del gradiente:

    \begin{cases}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=0\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}= 0\end{cases}

    I punti che scaturiscono da questo sistema si candidano come:

    - punti di massimo;

    - punti di minimo;

    - punti di sella

    Per determinare la loro natura ti invito a leggere la lezione sui massimi e minimi di due variabili.

    Esempio sui punti stazionari in due variabili

    Facciamo un esempio di come si trova un punto stazionario:

    f(x,y)= x^2+ y^2

    La funzione è definita su tutto \mathbb{R}^2 ed è ovviamente differenziabile, perché è una funzione polinomiale. Calcoliamo le derivate parziali:

    \\ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= 2x\\ \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y

    Impostiamo il sistema

    \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\end{cases}\implies \begin{cases}2x=0\\ 2y=0\end{cases}

    Da cui otteniamo la soluzione (x,y)=(0,0). Tramite lo studio della matrice hessiana

    H_f(x,y)=\left[\begin{matrix}f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{matrix}\right]

    In questo caso particolare la matrice hessiana è costante, dunque abbiamo già la sua valutazione nel punto stazionario

    H_f(0,0)=\left[\begin{matrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{matrix}\right]

    Dal calcolo del suo determinante

    det(H_f(0,0))=4

    essendo esso positivo, ed essendo il primo elemento della matrice hessiana positivo, ne deduciamo che il punto stazionario (0,0) è un punto di minimo relativo. Osservando poi che la funzione è non negativa sul proprio dominio e che (0,0) è l'unico punto in cui si annulla, concludiamo che (0,0) è l'unico punto di minimo assoluto.

    Significato geometrico di un punto stazionario in due variabili

    Tenendo presente che il grafico di una funzione a due variabili è una superficie in tre dimensioni, geometricamente un punto stazionario per una funzione di due variabili è la proiezione sul piano Oxy di un punto del grafico in cui il piano tangente è parallelo al piano z=0.

    Da notare l'analogia rispetto al caso di una variabile, con le dovute ovvie modifiche del caso; e anche qui puoi mettere in pratica la teoria usando il tool per il grafico di funzioni a due variabili online. ;)

    Risposta di Ifrit
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