Soluzioni
  • Il seno di 30 gradi, che si è soliti indicare con sen(30°) oppure con sin(30°), è uno dei valori notevoli delle funzioni goniometriche e vale 1/2.

    \sin(30^{\circ})=\frac{1}{2}

    Spesso in Trigonometria si preferisce esprimere gli angoli in radianti, anziché in gradi.

    Poiché 30° equivalgono a Pi Greco sesti radianti

    30^{\circ} \to \frac{\pi}{6}

    il seno di pigreco sesti corrisponde al seno di 30 gradi e quindi vale 1/2

    \sin(30^{\circ})=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

    Il seno di 30 gradi, o equivalentemente il seno di Pi Greco sesti, è uno di quei valori che si incontra talmente tante volte negli esercizi di Trigonometria che si finisce con l'impararlo a memoria anche senza rendersene conto.

    In ogni caso esiste un metodo relativamente semplice con cui calcolarlo, ed è utile soprattutto per chi si affaccia per le prime volte a questo argomento, perché aiuta a prendere confidenza con la circonferenza goniometrica e con la definizione di seno.

    Seno di 30° con la circonferenza goniometrica

    Disegniamo la circonferenza goniometrica, ossia la circonferenza situata nel piano cartesiano, con centro nell'origine degli assi e di raggio uguale a 1.

    Partendo dal semiasse delle x positive e procedendo in senso antiorario, tracciamo un angolo con vertice nell'origine e ampio 30°. Il secondo lato dell'angolo interseca la circonferenza goniometrica in un punto, che indichiamo con P.

    Tracciamo poi le proiezioni ortogonali del punto P sugli assi cartesiani e chiamiamo H la proiezione di P sull'asse x e K la proiezione di P sull'asse y, come mostra la seguente immagine:

     

    Seno di 30

    Seno di 30.

     

    Dalla definizione di seno di un angolo segue che il seno di 30° è l'ordinata del punto P e coincide con la misura con segno del segmento OK, che in questo caso è positiva perché K si trova sul semiasse delle ordinate positive

    \sin(30^{\circ}) = y_P = \overline{OK}

    L'ascissa del punto P, ossia la misura con segno del segmento OH, è invece il coseno di 30 gradi.

    Calcolo del seno di 30°

    Date le precedenti premesse, per calcolare il seno di 30 gradi dobbiamo calcolare la misura del segmento OK che, evidentemente, coincide con la misura del segmento PH. Per farlo ci serviremo di qualche proprietà dei triangoli, che dovremmo conoscere già dalla scuola media e/o dal primo anno di scuola superiore.

    Partiamo dalla precedente immagine e disegniamo un altro angolo di 30° con vertice nell'origine, ma questa volta partiamo dall'asse x e procediamo in senso orario. Chiamiamo Q il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza goniometrica.

     

    Calcolo seno 30 gradi

    Calcolo del seno di 30 gradi.

     

    Consideriamo il triangolo di vertici O, P, Q e osserviamo che è un triangolo isoscele di base PQ. I lati OP e OQ sono infatti raggi della circonferenza goniometrica, e quindi hanno la stessa misura

    \overline{OP}=\overline{OQ}=1

    Ricordiamo poi che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180°

    \widehat{POQ}+\widehat{OPQ}+\widehat{OQP}=180^{\circ}

    e poiché l'angolo al vertice misura 60°

    \widehat{POQ}=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}

    la somma degli angoli alla base è uguale a 120°

    \widehat{OPQ}+\widehat{OQP}=180^{\circ}-\widehat{POQ}=\\ \\ =180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}

    Dal momento che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali, ciascuno di assi è ampio 60°

    \widehat{OPQ}=\widehat{OQP}=60^{\circ}

    e ciò vuol dire che il triangolo di vertici O, P, Q è un triangolo equilatero, e quindi ha i lati uguali

    \overline{OP}=\overline{OQ}=\overline{PQ}=1

    Consideriamo poi il segmento OH, che evidentemente è bisettrice dell'angolo \widehat{POQ}.

    In un triangolo equilatero la bisettrice di un angolo interno è anche mediana, dunque il punto H divide il segmento PQ in parti uguali

    \overline{PH}=\overline{QH}=\frac{\overline{PQ}}{2}=\frac{1}{2}

    Ci siamo! Come già scritto la misura del segmento PH è il seno di 30 gradi, e ciò dimostra che il seno di 30° è uguale a 1/2

    \sin(30^{\circ})=\overline{PH}=\frac{1}{2}

    ***

    Con questo è davvero tutto, e non ci rimane altro da fare se non lasciarti il link di rimando alla tabella sui valori notevoli delle funzioni goniometriche - click!

    Risposta di Galois
 
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