Soluzioni
  • Il teorema della bisettrice afferma che la bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati; detti A, B, C i vertici di un triangolo qualsiasi e AD la bisettrice dell'angolo in A, vale la proporzione CD:DB=AC:AB.

    Per capire il significato del teorema della bisettrice, disegniamo un triangolo qualsiasi. Scegliamo un angolo e rappresentiamo in blu la bisettrice dell'angolo del triangolo, che incontrerà il lato opposto nel punto D.

     

    Teorema della bisettrice

     

    La bisettrice dell'angolo \hat{A} dividerà quindi il lato CB in due parti CD,DB che, per il teorema della bisettrice, sono proporzionali agli altri due lati AC,AB del triangolo.

    In altri termini, grazie al teorema della bisettrice vale la proporzione

    \overline{CD} : \overline{DB} = \overline{AC} : \overline{AB}

    Esempio di applicazione del teorema della bisettrice

    Un triangolo ha due lati uguali a 96 e 60 centimetri. La bisettrice dell'angolo formato da essi divide il lato opposto in due parti, la cui somma è uguale a 39 cm. Trovare la misura delle due parti in cui la bisettrice divide il terzo lato.

    Svolgimento: prendiamo come riferimento la figura disegnata precedentemente.

    Siano CD e DB le due parti in cui la bisettrice divide il lato opposto. Per ipotesi sappiamo che

    AC=96\mbox{ cm}\\ \\ AB=60\mbox{ cm}\\ \\ CD+DB=39\mbox{ cm}

    Dobbiamo trovare la misura di CD e DB.

    Grazie al teorema della bisettrice possiamo impostare la proporzione

    CD:DB=AC:AB

    Sostituendo i valori noti, arriviamo a

    CD:DB=96:60

    Possiamo ora applicare la proprietà del comporre e scrivere, ad esempio

    (CD+DB):CD=(96+60):96

    Sostituendo CD+DB=39, avremo

    39:CD=156:96

    È il momento di far intervenire la proprietà fondamentale delle proporzioni, che ci permette di trovare il valore di CD

    CD=\frac{39 \cdot 96}{156} = 24 \ \mbox{cm}

    Conoscendo CD possiamo infine ricavare il valore di DB

    DB=39-24=15\mbox{ cm}

    ***

    Con questo è tutto! Per ulteriori approfondimenti puoi leggere la nostra scheda dedicata al triangolo e a tutte le sue proprietà. ;)

    Risposta di Galois
 
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