Soluzioni
  • Per rispondere alla tua domanda dobbiamo fare riferimento alla definizione di arcotangente di un numero, di cui parliamo nel dettaglio nella lezione del link.

    L'arcotangente di un numero x è quell'angolo, espresso in radianti e compreso tra -\frac{\pi}{2}\mbox{ e }\frac{\pi}{2}, da dare in pasto alla tangente per ottenere il numero x. In formule:

    y= \arctan(x)\implies \tan(y)= x\ \ \ \mbox{con }-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}

    Ora ragioniamo un po'.

    Valore dell'arcotangente di 1

    Tu chiedi il valore di arctan(1) e quindi dobbiamo calcolare

    y=\arctan(1)

    In base alla definizione che abbiamo dato, dobbiamo risolvere l'equazione:

    \tan(y)=1\mbox{ con }y\in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

    Bisogna quindi risolvere un'equazione goniometrica elementare.

    Ora guardiamo la tabella dei valori notevoli della tangente. Scorri lungo la colonna dedicata alla tangente, fino a quando non incontri 1. Ti sposti lungo la riga corrispondente, verso sinistra, fino ad incontrare l'angolo in radianti, in questo caso:

    y= \frac{\pi}{4}

    Poiché il valore ottenuto appartiene nell'intervallo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), abbiamo la risposta: l'arcotangente di 1 vale pi greco quarti.

    Arcotangente di -1

    Per completezza vediamo un altro esempio. E se l'argomento dell'arcotangente fosse negativo? Se volessimo calcolare l'arcotangente di -1, come dovremmo comportarci?

    In tal caso utilizziamo una nota proprietà dell'arcotangente: la sua disparità, grazie alla quale sappiamo che

    \arctan(-x)=-\arctan(x)

    Di conseguenza arctan(-1) è uguale a -arctan(1).

    Il valore dell'arcotangente di 1 lo abbiamo determinato in precedenza, dunque:

    \arctan(-1)=-\arctan(1)=-\frac{\pi}{4}

    Con lo stesso ragionamento potrai determinare i cosiddetti valori notevoli dell'arcotangente, anche quando il suo argomento è negativo. ;)

    Risposta di Ifrit
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