Soluzioni
  • L'arcotangente di 1 è uguale a pi greco quarti (π/4) e per capire come si calcola dobbiamo fare riferimento alla definizione di arcotangente di un numero.

    \arctan(1) = \frac{\pi}{4}

    In accordo con la definizione, l'arcotangente di un numero x è quell'angolo α, espresso in radianti e compreso tra -\frac{\pi}{2}\mbox{ e }\frac{\pi}{2}, da dare in pasto alla tangente per ottenere il numero x.

    In formule:

    \alpha= \arctan(x) \iff \tan(\alpha)= x\ \ \ \mbox{con }-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}

    Valore dell'arcotangente di 1

    Per determinare il valore di arctan(1) dobbiamo calcolare

    \alpha=\arctan(1)

    In base alla definizione che abbiamo dato, dobbiamo risolvere l'equazione:

    \tan(\alpha)=1 \ \ \mbox{ con }\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

    Bisogna quindi risolvere un'equazione goniometrica elementare. Per farlo possiamo usare la definizione di tangente o, in alternativa, ricorrere alla tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche.

    Nel primo caso la risoluzione è immediata: è sufficiente applicare la definizione!

    Riguardo alla tabella dei valori, procediamo nel modo seguente. Leggiamola facendo riferimento alla colonna relativa alla tangente, fino a quando incontriamo il valore 1. A questo punto spostiamoci lungo la riga corrispondente, verso sinistra, fino a incontrare l'angolo in radianti. Nel nostro caso troviamo:

    \alpha= \frac{\pi}{4}

    Poiché il valore ottenuto appartiene nell'intervallo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), abbiamo finito: l'arcotangente di 1 vale pi greco quarti.

    \arctan(1) = \frac{\pi}{4}

    Arcotangente di -1

    Per calcolare il valore dell'arcotangente di -1 da quello dell'arcotangente di 1 basta usare una nota proprietà dell'arcotangente: essa è una funzione dispari, infatti

    \arctan(-x)=-\arctan(x)

    Di conseguenza arctan(-1) è uguale a -arctan(1).

    Poichè ormai conosciamo il valore dell'arcotangente di 1, concludiamo velocemente che

    \arctan(-1)=-\arctan(1)=-\frac{\pi}{4}

    In definitiva il valore dell'arcotangente di -1 è l'opposto del valore dell'arcotangente di 1, ed è uguale a meno pi greco quarti.

    \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}

    Con lo stesso ragionamento possiamo determinare i cosiddetti valori notevoli dell'arcotangente, anche quando il suo argomento è negativo.

    ***

    Per una spiegazione più generale e dettagliata sul calcolo dell'arcotangente ti rimandiamo all'approfondimento del link. Lì troverai anche un tool per il calcolo dell'arcotangente online. ;)

    Risposta di Galois
 
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