Soluzioni
  • La disuguaglianza triangolare afferma che il valore assoluto della somma di due numeri reali è minore o uguale alla somma dei loro moduli.

    Per esprimere formalmente tale proprietà possiamo dire che, comunque si considerino due numeri reali a,b\in\mathbb{R}, vale la seguente disuguaglianza:

    |a+b|\le |a|+|b|

    Una delle possibili dimostrazioni della disuguaglianza triangolare, piuttosto semplice, è la seguente: per definizione di valore assoluto valgono le relazioni

    (1)\quad -|a|\le a\le |a|\quad\forall a\in\mathbb{R}\\ \\ (2)\quad -|b|\le b\le |b|\quad\forall b\in\mathbb{R}

    Sommiamo membro a membro (1) e (2), così da ottenere:

    -|a|-|b|\le a+b\le |a|+|b|

    Questa catena di disuguaglianze è equivalente a:

    |a+b|\le |a|+|b|

    Significato geometrico della disuguaglianza triangolare

    Geometricamente parlando, la disuguaglianza triangolare stabilisce che in un triangolo la somma delle lunghezze di due dei suoi lati è maggiore del terzo lato. 

    Consideriamo il seguente triangolo di vertici ABC

     

    Significato geometrico della disuguaglianza triangolare

     

    Allora valgono le relazioni:

    \overline{AB}<\overline{BC}+\overline{CA}\\ \\ \overline{BC}<\overline{AB}+\overline{CA}\\ \\ \overline{CA}<\overline{AB}+\overline{BC}

    È proprio questo - ossia l'interpretazione geometrica - il motivo per cui la disuguaglianza triangolare ha preso questo nome particolare. :)

    Approfondimento: disuguaglianza triangolare in più dimensioni

    In realtà la disuguaglianza triangolare può essere generalizzata anche in spazi (normati) di dimensione maggiore di 1.

    In \mathbb{R}^n vale la seguente relazione: comunque presi \mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}^{n} risulta che

    ||\mathbf{a}+\mathbf{b}||\le ||\mathbf{a}||+||\mathbf{b}||

    dove ||\cdot|| è la norma di \mathbb{R}^{n}.

    ***

    Dulcis in fundo, una chicca: esiste anche la disuguaglianza triangolare inversa - click, può tornarti utile!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Algebra