Soluzioni
  • Una calotta sferica in Geometria è per definizione ciascuna delle due parti in cui una sfera è suddivisa da un piano ad essa secante.

    Per capire bene com'è fatta una calotta sferica, partendo dalla definizione stessa, immaginiamo di prendere un piano (un foglio di carta) ed una sfera (ad esempio un'arancia). Supponiamo di poter tagliare l'arancia con il foglio di carta. Le due parti che si verranno a formare sono proprio quelle che in Matematica si dicono calotte sferiche. ;)

    Eccoti una figura che ti aiuterà ad immaginarle meglio:

    Calotta sferica

    Due calotte sferiche (in arancione e in bianco)

    Le due parti in arancione chiaro ed in bianco sono le due calotte ottenute intersecando la sfera con un piano.

    Prima di salutarti vediamo insieme le formule della calotta sferica che saranno utili per i tuoi esercizi. indicando con

    R il raggio della sfera

    r il raggio di base della calotta

    h l'altezza della calotta

    allora l'area della superficie totale ed il volume della calotta sferica sono dati da:

    S=2 \pi R h\ \ \ ;\ \ \ V=\pi h^2 \left(R-\frac{h}{3}\right)

    Una formula per il volume della calotta equivalente alla precedente è data da

    V=\frac{\pi h}{6}(3r^2+h^2)

    Nota che l'altezza della calotta in arancione h può essere calcolata facilmente utilizzando il teorema di Pitagora

    h=R-\sqrt{R^2-r^2}

    mentre l'altezza della calotta in bianco può essere calcolata a partire dal diametro della sfera come differenza.

    Per il raggio della sfera noti il raggio di base della calotta e la sua altezza possiamo ricorrere alla formula

    R=\frac{r^2+h^2}{2h}

    È tutto! Per approfondire ti rimando al formulario sfera. ;)

    Risposta di Omega
 
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