Soluzioni
  • Il grado di un monomio è la somma degli esponenti delle indeterminate che ne costituiscono la parte letterale; il grado di un monomio rispetto a una lettera è invece l'esponente con cui la lettera si presenta nel monomio.

    Analizziamo le due definizioni in dettaglio, corredandole con alcuni esempi.

    Grado di un monomio rispetto a una lettera

    Il grado di un monomio rispetto a una lettera è definito come l'esponente con cui la lettera compare nel monomio.

    A questo proposito è bene specificare che qualsiasi lettera che non compare nella parte letterale può essere considerata come una potenza con esponente zero, quindi i monomi dati dai soli numeri hanno grado zero rispetto a qualsiasi lettera.

    Esempi sul grado di un monomio rispetto a una lettera

    1) Il monomio

    ab^2c

    ha grado 1 rispetto alla lettera a, grado 2 rispetto alla lettera b e grado 1 rispetto alla lettera c.

    2) Il monomio

    -\frac{1}{2}x^5y^6

    ha grado 5 rispetto alla lettera x, grado 6 rispetto alla lettera y e, perché no, grado 0 rispetto alle lettere a,b,c. ;)

    3) Il monomio

    \frac{6}{\sqrt{5}}

    ha grado zero, infatti è privo della parte letterale. Se preferite possiamo considerarlo come un monomio con parte letterale data da x^0=1, il che giustifica perché ha grado 0.

    Grado complessivo di un monomio

    Il grado complessivo di un monomio, o più brevemente grado del monomio, è definito come la somma degli esponenti di tutte le lettere che ne costituiscono la parte letterale.

    In modo del tutto equivalente, il grado di un monomio è la somma dei gradi rispetto alle lettere che ne compongono la parte letterale.

    Riguardo al grado del monomio nullo ci sono due possibilità: possiamo considerarlo come non definito oppure con valore -infinito. È una scelta puramente convenzionale che dipende dal libro o dal docente di riferimento.

    Osservazione (la parte numerica non è rilevante)

    Attenzione! Se siamo alla ricerca del grado di un monomio, non importa di che tipo sia la parte numerica. Potrà essere intera, frazionaria, ... A noi interessano solo e soltanto gli esponenti della parte letterale. ;)

    Esempio sul grado dei monomi

    Consideriamo il monomio

    -\frac{2}{7}ab^2c^3

    La sua parte letterale è ab^2c^3, quindi:

    - il grado rispetto alla lettera a è 1;

    - il grado rispetto alla lettera b è 2;

    - il grado rispetto alla lettera c è 3.

    Sommando i contributi dei gradi rispetto alle varie lettere otteniamo il grado complessivo del monomio

    1+2+3=6

    Operazioni tra monomi e grado del monomio risultante

    Un buon esercizio consiste nel capire quale può essere il grado del monomio risultante nelle operazioni tra monomi.

    A questo proposito, nel caso della somma tra monomi conviene distinguere tra addizione e sottrazione: ricordiamo infatti che la somma tra monomi è da intendersi come somma algebrica, quindi sono ammessi i simboli + e -.

    In questo contesto con operazione tra monomi intendiamo le operazioni interne all'insieme dei monomi, che sono tali solo se il risultato è ancora un monomio.

    Per completezza specifichiamo in ciascun caso, tra parentesi, qual è la condizione affinché il risultato sia un monomio.

    1) Grado del monomio risultante da un'addizione (di monomi simili)

    Il grado del monomio che risulta da un'addizione tra monomi simili è uguale al grado dei monomi di partenza.

    Esempio:

    axy+12axy=13axy

    I monomi di partenza hanno grado 3 e tale è anche il grado del monomio risultante.

    2) Grado del monomio risultante da una sottrazione (di monomi simili)

    Il grado del monomio che risulta da una sottrazione tra monomi è:

    - minore-uguale al grado dei monomi di partenza, se si considera -infinito come grado del monomio nullo;

    - minore del grado dei monomi di partenza oppure non definito, se si considera il monomio nullo con grado non definito.

    Esempi:

    \frac{1}{2}xy-\frac{1}{3}xy=\frac{1}{6}xy

    I monomi di partenza hanno grado 2 e tale è anche il grado del monomio risultante.

    2x-2x=0

    I due monomi hanno grado 1 ma il risultato è il monomio nullo, quindi ha grado -infinito o non definito.

    3) Grado del monomio risultante da un prodotto tra monomi (qualsiasi)

    Il grado del monomio che risulta da una moltiplicazione tra monomi non nulli è dato dalla somma dei gradi dei monomi di partenza; se uno dei due monomi è nullo, il risultato è il monomio nullo e dunque ha grado -infinito o non definito.

    Esempi

    \frac{2}{5}ab^2\cdot 3a^2bc=\frac{6}{5}a^3b^3c

    I due monomi di partenza hanno grado 3 e 4; il monomio prodotto ha grado 3+4=7.

    -\frac{7}{2}x^2y^3\cdot 0=0

    Poiché uno dei due fattori è il monomio nullo, tale è anche il monomio prodotto.

    4) Grado del monomio risultante dalla potenza di un monomio (monomio non nullo, esponente numero naturale)

    Il grado del monomio che risulta dall'elevamento a potenza di un monomio non nullo è il prodotto tra il grado del monomio base e l'esponente della potenza.

    Esempio:

    \left(xyz^2\right)^4=x^4y^4z^8

    Il monomio base ha grado 4, mentre il monomio potenza ha grado 4·4=16.

    5) Grado del monomio risultante da una divisione tra monomi (divisibili tra loro)

    Il monomio che risulta dalla divisione di due monomi divisibili tra loro ha grado minore-uguale rispetto al grado del monomio dividendo, ed è dato dalla differenza tra i gradi del monomio dividendo e del monomio divisore.

    L'unico caso in cui il quoziente ha grado uguale a quello del dividendo si ha quando il divisore è un monomio di grado zero (ossia un numero).

    Esempi:

    3x^4y^3z:2x^2y=\frac{3}{2}x^2y^2z

    Il monomio dividendo ha grado 8, il monomio divisore ha grado 3: il monomio quoziente ha grado 8-3=5.

    ab^2c^3:4=\frac{1}{4}ab^2c^3

    Poiché il divisore è un monomio di grado zero, i monomi dividendo e quoziente hanno lo stesso grado (6).

    ***

    Per tutti gli approfondimenti del caso puoi leggere la spiegazione sui monomi, e più in generale le varie lezioni sui polinomi. ;)

    Risposta di Galois
 
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