Soluzioni
  • Il rapporto o quoziente tra numeri complessi si calcola mediante diverse formule a seconda che i due numeri siano espressi in forma algebrica, trigonometrica o esponenziale.

    Rapporto tra numeri complessi in forma algebrica

    Per determinare il quoziente di due numeri complessi espressi in forma algebrica è bene imparare il metodo che permette di ricavare la formula, più che la formula stessa.

    Consideriamo

    \\ z_1=a+ib\\ \\ z_2=c+id 

    dove a,c e b,d sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria dei numeri complessi z_1,z_2. In particolare c,d non devono essere entrambi nulli.

    Per calcolare il quoziente tra z_1\mbox{ e }z_2, ossia \frac{z_1}{z_2}, procederemo per passi:

    1) calcoliamo il coniugato del numero complesso a denominatore:

    \bar{z}_2=c-id

    2) Moltiplichiamo e dividiamo il rapporto per il coniugato del denominatore:

    \frac{z_1}{z_2}= \frac{z_1}{z_2}\cdot\frac{\bar{z}_2}{\bar{z}_2}

    Il denominatore sarà certamente un numero reale perché il prodotto tra un numero complesso e il suo coniugato coincide con il modulo del numero complesso al quadrato:

    \\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1}{z_2}\cdot\frac{\bar{z}_2}{\bar{z}_2}=\frac{a+ib}{c+id}\cdot\frac{c-id}{c-id}=

    Non ci resta che sviluppare i prodotti, tenendo presente la definizione di unità immaginaria (i^2=-1) e raccogliere la parte reale e la parte esponenziale a numeratore

    =\frac{(ac-bd)+i(bc-ad)}{c^2+ d^2}

    In definitiva

    \\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+ d^2}

    Attenzione: ricordare a memoria la formula generale non serve a nulla, perché è piuttosto lunga e dunque facile da dimenticare. Di contro, il procedimento è semplice e quindi all'atto pratico conviene applicarlo tutte le volte che dobbiamo calcolare il rapporto tra due numeri complessi.

    Esempio sul rapporto tra numeri complessi in forma algebrica

    \\ z_1=1+i\\ \\ z_2=1-i

    di conseguenza

    \frac{z_1}{z_2}= \frac{1+i}{1-i}

    Determiniamo il complesso coniugato di z_2:

    \bar{z}_2= 1+i

    Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato:

    \\ \frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\\ \\ \\ =\frac{(1+i)(1+i)}{1+1}= \frac{(1+i)(1+i)}{2}=\frac{1+ i +i+ i^2}{2}=\frac{1+2i-1}{2}=i

    Dunque il rapporto tra i numeri complessi è dato da

    \frac{1+i}{1-i}=i

    ed è un numero con parte reale 0 e parte immaginaria 1.

    Rapporto tra numeri complessi in forma trigonometricha

    Nel caso in cui i due numeri siano espressi in forma trigonometrica allora il gioco si semplifica notevolmente:

    \\ z_1=\rho_1(\cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1))\\ \\ z_2=\rho_2(\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2))

    Il quoziente dei due numeri espressi in forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli dei due numeri e per argomento la differenza degli argomenti:

    \frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}\left[\cos(\theta_1- \theta_2)+ i \sin(\theta_1-\theta_2)\right]

    Per ricavare la formula basta scrivere i due numeri complessi in forma esponenziale applicando la formula di Eulero

    \\ z_1=\rho_1(\cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1))\ \to\ z_1=\rho_1 e^{i\theta_1}\\ \\ z_2=\rho_2(\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2))\ \to\ z_2=\rho_2 e^{i\theta_2}

    e calcolare il rapporto applicando semplicemente una nota proprietà delle potenze

    \frac{z_1}{z_2}= \frac{\rho_1}{\rho_2}e^{i (\theta_1- \theta_2)}

    Tornando alla forma trigonometrica

    \frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2}\left[\cos(\theta_1- \theta_2)+ i \sin(\theta_1-\theta_2)\right]

    ***

    Ti consiglio di leggere la lezione sulle operazioni con i numeri complessi. ;)

    Risposta di Ifrit
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