Rapporto di numeri complessi

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Come si calcola rapporto di due numeri complessi? Nello specifico quali sono le formule per calcolare il rapporto tra numeri complessi in forma algebrica, in forma trigonometrica e in forma esponenziale?

Mi spiegate come procedere facendomi vedere degli esempi?

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • Il rapporto o quoziente tra numeri complessi si calcola mediante diverse formule a seconda che i due numeri siano espressi in forma algebrica, trigonometrica o esponenziale.

    Rapporto tra numeri complessi in forma algebrica

    Per determinare il quoziente di due numeri complessi espressi in forma algebrica è bene imparare il metodo che permette di ricavare la formula, più che la formula stessa.

    Consideriamo

    z_1 = a+ib ; z_2 = c+id 

    dove a,c e b,d sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria dei numeri complessi z_1,z_2. In particolare c,d non devono essere entrambi nulli.

    Per calcolare il quoziente tra z_1 e z_2, ossia (z_1)/(z_2), procederemo per passi:

    1) calcoliamo il coniugato del numero complesso a denominatore:

    barz_2 = c-id

    2) Moltiplichiamo e dividiamo il rapporto per il coniugato del denominatore:

    (z_1)/(z_2) = (z_1)/(z_2)·(barz_2)/(barz_2)

    Il denominatore sarà certamente un numero reale perché il prodotto tra un numero complesso e il suo coniugato coincide con il modulo del numero complesso al quadrato:

    (z_1)/(z_2) = (z_1)/(z_2)·(barz_2)/(barz_2) = (a+ib)/(c+id)·(c-id)/(c-id) =

    Non ci resta che sviluppare i prodotti, tenendo presente la definizione di unità immaginaria (i^2 = -1) e raccogliere la parte reale e la parte esponenziale a numeratore

    = ((ac-bd)+i(bc-ad))/(c^2+d^2)

    In definitiva

    (z_1)/(z_2) = ((ac+bd)+i(bc-ad))/(c^2+d^2)

    Attenzione: ricordare a memoria la formula generale non serve a nulla, perché è piuttosto lunga e dunque facile da dimenticare. Di contro, il procedimento è semplice e quindi all'atto pratico conviene applicarlo tutte le volte che dobbiamo calcolare il rapporto tra due numeri complessi.

    Esempio sul rapporto tra numeri complessi in forma algebrica

    z_1 = 1+i ; z_2 = 1-i

    di conseguenza

    (z_1)/(z_2) = (1+i)/(1-i)

    Determiniamo il complesso coniugato di z_2:

    barz_2 = 1+i

    Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato:

    (1+i)/(1-i) = ((1+i)(1+i))/((1-i)(1+i)) = ((1+i)(1+i))/(1+1) = ((1+i)(1+i))/(2) = (1+i+i+i^2)/(2) = (1+2i-1)/(2) = i

    Dunque il rapporto tra i numeri complessi è dato da

    (1+i)/(1-i) = i

    ed è un numero con parte reale 0 e parte immaginaria 1.

    Rapporto tra numeri complessi in forma trigonometricha

    Nel caso in cui i due numeri siano espressi in forma trigonometrica allora il gioco si semplifica notevolmente:

    z_1 = ρ_1(cos(θ_1)+isin(θ_1)) ; z_2 = ρ_2(cos(θ_2)+isin(θ_2))

    Il quoziente dei due numeri espressi in forma trigonometrica è un numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli dei due numeri e per argomento la differenza degli argomenti:

    (z_1)/(z_2) = (ρ_1)/(ρ_2)[cos(θ_1-θ_2)+i sin(θ_1-θ_2)]

    Per ricavare la formula basta scrivere i due numeri complessi in forma esponenziale applicando la formula di Eulero

    z_1 = ρ_1(cos(θ_1)+isin(θ_1)) → z_1 = ρ_1 e^(iθ_1) ; z_2 = ρ_2(cos(θ_2)+isin(θ_2)) → z_2 = ρ_2 e^(iθ_2)

    e calcolare il rapporto applicando semplicemente una nota proprietà delle potenze

    (z_1)/(z_2) = (ρ_1)/(ρ_2)e^(i (θ_1-θ_2))

    Tornando alla forma trigonometrica

    (z_1)/(z_2) = (ρ_1)/(ρ_2)[cos(θ_1-θ_2)+i sin(θ_1-θ_2)]

    ***

    Ti consiglio di leggere la lezione sulle operazioni con i numeri complessi. ;)

    Risposta di Ifrit
 
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