Retta passante per un punto perpendicolare a un'altra

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Come si determina l'equazione della retta passante per un punto e perpendicolare a un'altra retta? Mi capitano spesso esercizi di Geometria Analitica che assegnano le coordinate cartesiane di un punto e l'equazione di una retta, e che chiedono di trovare l'equazione della retta passante per il punto e perpendicolare alla retta assegnata.

Potreste spiegarmi il metodo generale per approcciare questo genere di problemi e mostrarmi un esempio svolto?

Soluzione

Per determinare l'equazione della retta passante per un punto e perpendicolare a un'altra retta basta usare l'equazione della retta passante per un punto y-yP=m(x-xP), sostituire (xP,yP) con le coordinate cartesiane del punto assegnato e ricavare m imponendo la condizione di perpendicolarità tra rette.

Analizziamo il metodo nel dettaglio.

Siano P(x_P,y_P) un punto e s una retta del piano cartesiano.

Per trovare l'equazione della retta r passante per il punto P e perpendicolare alla retta s procediamo nel modo seguente.

1) Calcolare il coefficiente angolare m_s della retta s.

A tal proposito ricordiamo che se s è in forma esplicita e ha un'equazione della forma

s: y = mx+q

allora il suo coefficiente angolare è m.

Se invece s è in forma implicita

s: ax+by+c = 0 con b ≠ 0

allora il suo coefficiente angolare è l'opposto del rapporto tra il coefficiente della x e il coefficiente della y

m_s = −(a)/(b) con b ≠ 0

2) Calcolare il coefficiente angolare m_r della retta r imponendo la condizione di perpendicolarità tra rette. Essa stabilisce che due rette del piano sono perpendicolari se e solo se il coefficiente angolare dell'una è l'opposto del reciproco del coefficiente angolare dell'altra:

m_r = −(1)/(m_s)

3) L'equazione della retta r si ottiene applicando la formula per la retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto:

r: y−y_P = m_r(x−x_P)

Esempio: equazione della retta passante per un punto e perpendicolare a un'altra retta

Scrivere l'equazione della retta passante per il punto P(2,1) e perpendicolare alla retta s di equazione

s: x+2y−6 = 0

Svolgimento: la prima cosa da fare è calcolare la pendenza della retta s, di cui conosciamo l'equazione in forma implicita

s: x+2y−6 = 0

Il coefficiente della x è a = 1, mentre il coefficiente della y è b = 2, per cui

m_s = −(a)/(b) = −(1)/(2)

Troviamo il coefficiente angolare della retta r, dato dall'opposto del reciproco del coefficiente angolare di s

m_r = −(1)/(m_s) = −(1)/(−(1)/(2)) = 2

Per concludere applichiamo la formula per la retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto

r: y−y_P = m_r(x−x_P)

e sostituiamo m_r = 2 e le coordinate cartesiane di P, che sono (x_P,y_P) = (2,1)

r: y−1 = 2(x−2)

Svolgiamo il prodotto a secondo membro

r: y−1 = 2x−4

e scriviamo l'equazione della retta in forma implicita

r: 2x−y−3 = 0

Caso particolare: retta passante per un punto e perpendicolare a una retta verticale

Nel caso di una retta verticale, ossia di una retta parallela all'asse y, il coefficiente angolare non è definito. Di conseguenza per calcolare l'equazione della retta passante per un punto e perpendicolare a una retta verticale non possiamo applicare il metodo esposto il precedenza.

In questo caso basta osservare che la retta passante per il punto P(x_P,y_P) e perpendicolare a una retta verticale, di equazione

s: x = k, con k ∈ R

è

r: y = y_P

Quest'ultima infatti è una retta orizzontale, quindi perpendicolare alla retta verticale s, e inoltre passa per il punto P.

***

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