Soluzioni
  • Per determinare l'equazione della retta passante per un punto e perpendicolare a un'altra retta basta usare l'equazione della retta passante per un punto y-yP=m(x-xP), sostituire (xP,yP) con le coordinate cartesiane del punto assegnato e ricavare m imponendo la condizione di perpendicolarità tra rette.

    Analizziamo il metodo nel dettaglio.

    Siano P(x_P,y_P) un punto e s una retta del piano cartesiano.

    Per trovare l'equazione della retta r passante per il punto P e perpendicolare alla retta s procediamo nel modo seguente.

    1) Calcolare il coefficiente angolare m_s della retta s.

    A tal proposito ricordiamo che se s è in forma esplicita e ha un'equazione della forma

    s: \ y=mx+q

    allora il suo coefficiente angolare è m.

    Se invece s è in forma implicita

    s: \ ax+by+c=0 \ \ \mbox{ con } b \neq 0

    allora il suo coefficiente angolare è l'opposto del rapporto tra il coefficiente della x e il coefficiente della y

    m_s=-\frac{a}{b} \ \ \mbox{ con } b \neq 0

    2) Calcolare il coefficiente angolare m_r della retta r imponendo la condizione di perpendicolarità tra rette. Essa stabilisce che due rette del piano sono perpendicolari se e solo se il coefficiente angolare dell'una è l'opposto del reciproco del coefficiente angolare dell'altra:

    m_r=-\frac{1}{m_s}

    3) L'equazione della retta r si ottiene applicando la formula per la retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto:

    r: \ y-y_P=m_r(x-x_P)

    Esempio: equazione della retta passante per un punto e perpendicolare a un'altra retta

    Scrivere l'equazione della retta passante per il punto P(2,1) e perpendicolare alla retta s di equazione

    s: \ x+2y-6=0

    Svolgimento: la prima cosa da fare è calcolare la pendenza della retta s, di cui conosciamo l'equazione in forma implicita

    s: \ x+2y-6=0

    Il coefficiente della x è a=1, mentre il coefficiente della y è b=2, per cui

    m_s=-\frac{a}{b}=-\frac{1}{2}

    Troviamo il coefficiente angolare della retta r, dato dall'opposto del reciproco del coefficiente angolare di s

    m_r=-\frac{1}{m_s}=-\frac{1}{-\dfrac{1}{2}}=2

    Per concludere applichiamo la formula per la retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto

    r: \ y-y_P=m_r(x-x_P)

    e sostituiamo m_r=2 e le coordinate cartesiane di P, che sono (x_P,y_P)=(2,1)

    \\ r: \ y-1=2(x-2)

    Svolgiamo il prodotto a secondo membro

    r: \ y-1=2x-4

    e scriviamo l'equazione della retta in forma implicita

    r: \ 2x-y-3=0

    Caso particolare: retta passante per un punto e perpendicolare a una retta verticale

    Nel caso di una retta verticale, ossia di una retta parallela all'asse y, il coefficiente angolare non è definito. Di conseguenza per calcolare l'equazione della retta passante per un punto e perpendicolare a una retta verticale non possiamo applicare il metodo esposto il precedenza.

    In questo caso basta osservare che la retta passante per il punto P(x_P,y_P) e perpendicolare a una retta verticale, di equazione

    s: \ x=k, \ \mbox{ con } k \in \mathbb{R}

    è

    r: \ y=y_P

    Quest'ultima infatti è una retta orizzontale, quindi perpendicolare alla retta verticale s, e inoltre passa per il punto P.

    ***

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    Risposta di Galois
 
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