Parabola con vertice nell'origine

Giuseppe Carichino (Galois) -

Com'è fatta l'equazione di una parabola con vertice nell'origine e come se ne calcolano le coordinate cartesiane del fuoco e l'equazione della direttrice?

Come cambia l'equazione di una parabola con vertice nell'origine degli assi, a seconda che sia simmetrica rispetto all'asse x oppure rispetto all'asse y?

Vorrei anche sapere come si studia una parabola con vertice nell'origine e come se ne trova l'equazione, magari con qualche problema svolto.

Soluzione

L'equazione di una parabola con vertice nell'origine è y=ax2 se l'asse di simmetria è l'asse delle ordinate, mentre è x=ay2 se l'asse di simmetria è l'asse delle ascisse. In entrambi i casi il coefficiente a deve essere diverso da zero (a≠0).

Parabola con vertice nell'origine → y = ax^2 simmetrica asse y ; x = ay^2 simmetrica asse x

È quindi evidente che una parabola con vertice nell'origine presenta equazioni diverse in base all'asse di simmetria, a seconda che sia l'asse y (asse di simmetria verticale) oppure l'asse x (asse di simmetria orizzontale).

Analizziamo i due casi separatamente.

Parabola con vertice nell'origine e asse verticale

L'equazione di una parabola con vertice nell'origine e asse coincidente con l'asse y è y=ax2, con a≠0.

y = ax^2 a ≠ 0

Al variare del parametro a cambiano la forma e la posizione della parabola nel piano cartesiano:

• se a > 0 la parabola giace nel semipiano delle ordinate positive, ossia rivolge la concavità verso l'alto;

• se a < 0 la parabola giace nel semipiano delle ordinate negative, ossia rivolge la concavità verso il basso.

In entrambi i casi all'aumentare del valore assoluto di a diminuisce l'apertura della parabola.

Parabola con vertice nell'origine e asse verticale

Parabole con vertice nell'origine e asse verticale.

Parabola con vertice nell'origine e asse orizzontale

L'equazione di una parabola con vertice nell'origine e asse coincidente con l'asse x è x=ay2, con a≠0.

x = ay^2 a ≠ 0

Anche in questo caso al variare del parametro a cambiano la forma e la posizione della parabola:

• se a > 0 la parabola giace nel semipiano delle ascisse positive, e quindi rivolge la concavità verso destra;

• se a < 0 la parabola giace nel semipiano delle ascisse negative, e quindi rivolge la concavità verso sinistra.

Al crescere del valore assoluto di a diminuisce l'apertura della parabola.

Parabola con vertice nell'origine e asse orizzontale

Parabole con vertice nell'origine degli assi e asse orizzontale.

Vertice, fuoco e direttrice di una parabola con vertice nell'origine

• Il vertice di una parabola con vertice nell'origine è il punto O(0,0).

Vertice parabola V ≡ O(0,0)

• Il fuoco di una parabola con vertice nell'origine è il punto (0,1/(4a)) se la parabola ha asse di simmetria verticale, (1/(4a), 0) se la parabola ha asse di simmetria orizzontale.

Fuoco parabola y = ax^2 → F(0,(1)/(4a)) ; Fuoco parabola x = ay^2 → F((1)/(4a),0)

• La direttrice di una parabola con vertice nell'origine è la retta y=-1/(4a) se l'asse della parabola coincide con l'asse y, x=-1/(4a) se l'asse della parabola coincide con l'asse x.

Direttrice parabola y = ax^2 → y = -(1)/(4a) ; Direttrice parabola x = ay^2 → x = -(1)/(4a)

Studio dell'equazione di una parabola con vertice nell'origine

Studiare una parabola significa trovare le coordinate cartesiane del vertice e del fuoco, l'equazione della direttrice ed eventualmente tracciarne il grafico.

Vediamo un esempio e studiamo la parabola y = 2x^2.

Svolgimento: l'equazione della parabola è della forma y = ax^2 con a = 2, dunque è una parabola con vertice nell'origine, asse di simmetria verticale e concavità rivolta verso l'alto.

Le coordinate cartesiane del fuoco sono

F(0,(1)/(4a)) = (0,(1)/(4·2)) = (0,(1)/(8))

L'equazione della direttrice è

y = -(1)/(4a) → y = -(1)/(8)

Per disegnare la parabola ci servono le coordinate cartesiane del vertice e quelle di almeno due punti distinti della parabola opposti rispetto all'asse di simmetria.

Abbiamo già osservato che la parabola ha il vertice nell'origine, dunque V ≡ O(0,0).

Per trovare le coordinate di due punti della parabola assegniamo alla variabile x due valori opposti, ad esempio x = 1 e x = -1, e sostituiamoli nell'equazione.

- Per x = 1 si ottiene y = 2, dunque la parabola passa per il punto A(1,2);

- Per x = -1 si ottiene sempre y = 2, per cui la parabola passa per il punto B(-1,2).

Possiamo infine rappresentare graficamente la parabola.

Studio di una parabola con vertice nell'origine

Grafico della parabola y=2x2.

Come trovare l'equazione di una parabola con vertice nell'origine

L'equazione di una parabola con vertice nell'origine dipende da un solo parametro, a prescindere dall'asse di simmetria.

Per trovarne l'equazione abbiamo quindi bisogno:

- di sapere se è simmetrica rispetto all'asse y oppure rispetto all'asse x, così da scegliere la giusta equazione da cui partire (y=ax2 oppure x=ay2);

- di un'ulteriore condizione che ci permetta di calcolare il valore del parametro a, come ad esempio le coordinate cartesiane del fuoco o di un punto appartenente ad essa, oppure l'equazione della direttrice.

A titolo di esempio calcoliamo l'equazione della parabola con vertice nell'origine degli assi, asse di simmetria coincidente con l'asse x e passante per il punto P(5,1).

Svolgimento: partiamo dall'equazione generale della parabola con vertice nell'origine e asse di simmetria orizzontale

x = ay^2

e imponiamo il passaggio per il punto P(5,1). Per farlo è sufficiente sostituire x = 5 e y = 1 nella generica equazione

5 = a·1^2 → 5 = a

L'equazione della parabola è quindi x = 5y^2.

***

Non abbiamo altro da aggiungere, se non lasciarti qualche riferimento utile:

- formulario sulla parabola;

- approfondimento sull'equazione della parabola;

- come disegnare una parabola;

- scheda di esercizi svolti sulla parabola;

- tool per studiare la parabola online.

Domande della categoria Wiki - Geometria Analitica
Esercizi simili e domande correlate