Funzione simmetrica rispetto all'origine

Una funzione f è simmetrica rispetto all'origine se f(-x)=-f(x), dove f(-x) è la funzione ottenuta sostituendo x con -x nell'espressione analitica di f(x), e -f(x) è l'opposta di f(x). Le funzioni simmetriche rispetto all'origine degli assi si dicono funzioni dispari.

Attenzione però: l'espressione funzione simmetrica rispetto all'origine degli assi non è propriamente corretta e nasconde un abuso di linguaggio che è bene mettere in evidenza.

Una funzione è una particolare relazione tra gli elementi di due insiemi. Nel caso di una funzione reale di variabile reale ciò che può essere simmetrico rispetto all'origine non è la funzione in sé, bensì il grafico della funzione, ossia la sua rappresentazione nel piano cartesiano.

Si dovrebbe quindi fare riferimento alla simmetria del grafico della funzione rispetto all'origine e non alla simmetria della funzione, ma si tratta di un abuso di linguaggio comunemente accettato.

Come stabilire se una funzione è simmetrica rispetto all'origine

Consideriamo una funzione reale di variabile reale di cui conosciamo la forma analitica . Per stabilire se è simmetrica rispetto all'origine degli assi basta attenersi ad alcuni semplici passaggi.

1) Calcolare sostituendo in ogni occorrenza di con , e svolgendo le eventuali semplificazioni.

2) Determinare , ossia l'opposta della funzione .

3) Confrontare con :

• se , allora è simmetrica rispetto all'origine;

• se , allora non è simmetrica rispetto all'origine.

Vediamo degli esempi.

Esempio 1)

Stabilire se la funzione

è simmetrica rispetto all'origine.

Svolgimento: determiniamo l'espressione analitica di , sostituendo con

calcoliamo l'espressione di

e infine confrontiamole: poiché , la funzione non è simmetrica rispetto all'origine.

Esempio 2)

Controllare se la funzione

è simmetrica rispetto all'origine degli assi.

Svolgimento: calcoliamo

Raccogliamo a fattor comune -1 nel numeratore

È fatta: siamo partiti da e siamo arrivati a , dunque è simmetrica rispetto all'origine.

Stabilire se una funzione è simmetrica rispetto all'origine dal suo grafico

Da un punto di vista grafico una funzione è simmetrica rispetto all'origine degli assi se, comunque si prende un punto appartenente al grafico della funzione, anche il punto (simmetrico di rispetto all'origine) appartiene al grafico della funzione.

Vediamo un paio di esempi.

• Osserviamo il seguente grafico:

Esempio: grafico di una funzione simmetrica rispetto all'origine degli assi.

Evidentemente il grafico è simmetrico rispetto all'origine, infatti comunque si sceglie un punto appartenente ad esso vi appartiene anche il suo simmetrico rispetto all'origine.

• Consideriamo ora il seguente grafico:

Esempio: grafico di una funzione non simmetrica rispetto all'asse origine degli assi.

Consideriamo il punto , che appartiene al grafico della funzione. Il suo simmetrico rispetto all'origine è , che però non vi appartiene. Ciò basta a concludere che questo grafico non è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

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Per concludere ti segnaliamo:

- la lezione su funzioni pari e funzioni dispari;

- gli approfondimenti sulle simmetrie di una funzione e sulle funzioni simmetriche rispetto all'asse y.

- il tool per il controllo delle simmetrie online.