Soluzioni
  • Si definisce gruppo ortogonale l'insieme di tutte le matrici ortogonali di un fissato ordine e a coefficienti in uno stesso campo, dotato dell'operazione di prodotto tra matrici.

    In altri termini, fissati un campo \mathbb{K} e un numero naturale n\ge 1, consideriamo l'insieme di tutte le matrici ortogonali di ordine n e a coefficienti nel campo \mathbb{K}.

    Se dotiamo tale insieme dell'operazione di prodotto tra matrici otteniamo un gruppo, detto gruppo ortogonale e indicato con O_n(\mathbb{K}) o con O(n,\mathbb{K}).

    Ricordiamo che una matrice quadrata di ordine n è detta matrice ortogonale se il prodotto con la sua trasposta restituisce la matrice identità, quindi

    O(n,\mathbb{K}):=\{A \in Mat(n,n,\mathbb{K}) \mbox{ tali che } AA^T = \mbox{Id}_n = A^TA\}

    dove Mat(n,n,\mathbb{K}) è lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n a elementi in \mathbb{K} e \mbox{Id}_n rappresenta la matrice identità di ordine n.

    ***

    Dimostriamo ora che O(n,\mathbb{K}) con l'operazione di prodotto tra matrici è effettivamente un gruppo.

    A tal fine occorre provare che:

    1) O(n,\mathbb{K}) è chiuso rispetto al prodotto riga per colonna;

    2) il prodotto tra matrici ortogonali gode della proprietà associativa;

    3) esiste l'elemento neutro;

    4) ogni elemento di O(n,\mathbb{K}) ammette inverso moltiplicativo.

    Partiamo dalla dimostrazione della prima proprietà.

    Siano A, B \in O(n,\mathbb{K}). Dobbiamo dimostrare che AB \in O(n,\mathbb{K}), cioè che il prodotto tra matrici ortogonali è ancora una matrice ortogonale.

    AB \in O(n,\mathbb{K})

    o, equivalentemente

    (AB)(AB)^T=\mbox{Id}_n

    Consideriamo allora il prodotto

    (AB)(AB)^T

    Per una nota proprietà della trasposizione si ha che

    (AB)^T=B^TA^T

    di conseguenza

    (AB)(AB)^T = AB(B^TA^T) = A(BB^T)A^T = A \mbox{Id}_n A^T = AA^T = \mbox{Id}_n

    e l'asserto può dirsi dimostrato.

    Per quanto riguarda il punto 2) è sufficiente ricordare che il prodotto tra matrici è associativo, quindi anche il prodotto tra matrici ortogonali gode di tale proprietà.

    L'elemento neutro del gruppo ortogonale è la matrice identità, infatti tale matrice appartiene a O(n,\mathbb{K}) ed è tale che

    A \mbox{Id}_n = A = \mbox{Id}_n A\ \ \ \mbox{ per ogni } A \in O(n,\mathbb{K})

    Infine, per com'è definita una matrice ortogonale la sua matrice inversa coincide con la trasposta, che a sua volta è una matrice ortogonale, dunque ogni elemento di O(n,\mathbb{K}) ammette inverso moltiplicativo.

    \square

    Gruppo ortogonale speciale

    Il determinante di una matrice ortogonale è 1 o -1, infatti se A \in O(n,\mathbb{K}) allora

    AA^T = \mbox{Id}_n

    e quindi

    \mbox{det}(AA^T)=\mbox{det}(\mbox{Id}_n)

    Il determinante della matrice identità è 1, inoltre per il teorema di Binet

    \mbox{det}(AA^T)=\mbox{det}(A) \ \mbox{det}(A^T)

    Di conseguenza

    \mbox{det}(AA^T)=\mbox{det}(A) \mbox{det}(A^T) = 1

    Inoltre, una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante, dunque dalla precedente uguaglianza segue che

    [\mbox{det}(A)]^2 = 1 \iff \mbox{det}(A)=\pm 1

    Le matrici del gruppo ortogonale avente determinante uguale a 1 assieme al prodotto riga per colonna formano un nuovo gruppo, detto gruppo ortogonale speciale e indicato con SO(n,\mathbb{K})

    SO(n,\mathbb{K}):=\{A \in O(n,\mathbb{K}) \mbox{ tali che } \mbox{det}(A)=1\}

    Tale gruppo, evidentemente, è un sottogruppo di O(n,\mathbb{K}), che a sua volta è un sottogruppo del gruppo generale lineare GL(n,\mathbb{K}), i cui elementi sono tutte e sole le matrici invertibili di ordine n.

    ***

    Alla prossima! In caso di dubbi o per altre domande potete usare la barra di ricerca interna.

    Risposta di Galois
 
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