Equazioni spurie: risoluzione ed esempi

Giuseppe Carichino (Galois) -

Cosa sono le equazioni spurie? Potreste spiegarmi com'è fatta un'equazione spuria e come si distingue dagli altri tipi di equazioni di secondo grado?

Vorrei anche sapere se c'è un metodo veloce per risolverle, senza dover necessariamente applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Oltre a spiegarmelo potreste proporre qualche esempio?

Le equazioni spurie sono equazioni incomplete di secondo grado che si presentano nella forma ax2+bx=0, con a e b diversi da zero. In altre parole un'equazione spuria è un'equazione di secondo grado in forma normale in cui il coefficiente del termine di grado 1 è diverso da zero e il coefficiente del termine di grado 0 è nullo.

Equazione spuria → ax2+bx=0, con a≠0, b≠0

Definizione e forma normale delle equazioni spurie

Consideriamo la forma normale delle equazioni di secondo grado:

ax^2+bx+c = 0 con a ≠ 0

Si parla di equazioni spurie se il termine noto è nullo (c = 0) e se il coefficiente del termine di grado 1 è diverso da zero (b ≠ 0)

ax^2+bx = 0 con a ≠ 0, b ≠ 0

Soluzioni di un'equazione spuria

Un'equazione spuria è sempre determinata e ammette sempre due soluzioni reali e distinte, indipendentemente dai valori dei coefficienti a,b ∈ R.

Possiamo dire di più: le due soluzioni di un'equazione spuria sono zero e l'opposto del rapporto tra i coefficienti b,a:

x_1 = 0 ; x_2 = -(b)/(a)

Per capirlo è sufficiente raccogliere a fattor comune x

ax^2+bx = 0 → x(ax+b) = 0

e applicare la legge di annullamento del prodotto, secondo cui il prodotto tra più fattori è uguale a zero se almeno uno dei fattori è nullo

x = 0 ∨ ax+b = 0

Abbiamo ottenuto due equazioni di primo grado. La prima è già risolta, e ha per soluzione

x = 0

La soluzione della seconda si ottiene portando b a secondo membro e dividendo ambo i membri per a

ax+b = 0 → x = -(b)/(a)

Ciò dimostra che le soluzioni di un'equazione spuria della forma ax^2+bx = 0 sono proprio

x_1 = 0 ; x_2 = -(b)/(a)

Esempi di equazioni spurie

• 3x^2-27x = 0

è un'equazione spuria. Per risolverla raccogliamo x a fattor comune

x(3x-27) = 0

e applichiamo la legge di annullamento del prodotto

x = 0 ∨ 3x-27 = 0

Risolviamo la seconda equazione di primo grado

3x-27 = 0 → x = (27)/(3) = 9

e otteniamo le soluzioni

x_1 = 0 ; x_2 = 9

• -5x^2+4x = 0

è un'altra equazione spuria, dunque sappiamo a priori che è determinata. Calcoliamone le soluzioni col solito metodo.

Mettiamo in evidenza x

-5x^2+4x = 0 → x(-5x+4) = 0

Imponiamo che ciascuno dei due fattori sia uguale a zero

x = 0 ∨ -5x+4 = 0

e ricaviamo le soluzioni

x_1 = 0 ; x_2 = (-4)/(-5) = (4)/(5)

***

Ecco, per concludere, il link alla nostra lezione sulle equazioni di secondo grado, dove potrai fare un ripasso completo di tutti i metodi risolutivi.

Ti segnaliamo anche i seguenti approfondimenti sugli altri due tipi di equazioni incomplete di secondo grado:

- equazioni pure;

- equazioni monomie.

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