Soluzioni
  • Le equazioni spurie sono equazioni incomplete di secondo grado che si presentano nella forma ax2+bx=0, con a e b diversi da zero. In altre parole un'equazione spuria è un'equazione di secondo grado in forma normale in cui il coefficiente del termine di grado 1 è diverso da zero e il coefficiente del termine di grado 0 è nullo.

    Equazione spuria → ax2+bx=0, con a≠0, b≠0

    Definizione e forma normale delle equazioni spurie

    Consideriamo la forma normale delle equazioni di secondo grado:

    ax^2+bx+c=0 \ \ \mbox{ con } a\neq 0

    Si parla di equazioni spurie se il termine noto è nullo (c=0) e se il coefficiente del termine di grado 1 è diverso da zero (b\neq 0)

    ax^2+bx=0 \ \ \mbox{ con } a\neq 0,\ b\neq 0

    Soluzioni di un'equazione spuria

    Un'equazione spuria è sempre determinata e ammette sempre due soluzioni reali e distinte, indipendentemente dai valori dei coefficienti a,b \in \mathbb{R}.

    Possiamo dire di più: le due soluzioni di un'equazione spuria sono zero e l'opposto del rapporto tra i coefficienti b,a:

    x_1=0 \ \ \ ; \ \ \ x_2=-\frac{b}{a}

    Per capirlo è sufficiente raccogliere a fattor comune x

    ax^2+bx=0 \ \to \ x(ax+b)=0

    e applicare la legge di annullamento del prodotto, secondo cui il prodotto tra più fattori è uguale a zero se almeno uno dei fattori è nullo

    x=0 \ \vee \ ax+b=0

    Abbiamo ottenuto due equazioni di primo grado. La prima è già risolta, e ha per soluzione

    x=0

    La soluzione della seconda si ottiene portando b a secondo membro e dividendo ambo i membri per a

    ax+b=0 \ \to \ x=-\frac{b}{a}

    Ciò dimostra che le soluzioni di un'equazione spuria della forma ax^2+bx=0 sono proprio

    x_1=0 \ \ \ ; \ \ \ x_2=-\frac{b}{a}

    Esempi di equazioni spurie

    \bullet\ 3x^2-27x=0

    è un'equazione spuria. Per risolverla raccogliamo x a fattor comune

    x(3x-27)=0

    e applichiamo la legge di annullamento del prodotto

    x=0 \ \vee \ 3x-27=0

    Risolviamo la seconda equazione di primo grado

    3x-27=0 \ \to \ x=\frac{27}{3}=9

    e otteniamo le soluzioni

    x_1=0 \ \ \ ; \ \ \ x_2=9

    \bullet\ -5x^2+4x=0

    è un'altra equazione spuria, dunque sappiamo a priori che è determinata. Calcoliamone le soluzioni col solito metodo.

    Mettiamo in evidenza x

    -5x^2+4x=0 \ \to \ x(-5x+4)=0

    Imponiamo che ciascuno dei due fattori sia uguale a zero

    x=0 \ \vee \ -5x+4=0

    e ricaviamo le soluzioni

    x_1=0 \ \ \ ; \ \ \ x_2=\frac{-4}{-5}=\frac{4}{5}

    ***

    Ecco, per concludere, il link alla nostra lezione sulle equazioni di secondo grado, dove potrai fare un ripasso completo di tutti i metodi risolutivi.

    Ti segnaliamo anche i seguenti approfondimenti sugli altri due tipi di equazioni incomplete di secondo grado:

    - equazioni pure;

    - equazioni monomie.

    Risposta di Galois
 
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