Soluzioni
  • La somma tra due numeri complessi è il numero complesso avente come parte reale la somma delle parti reali e come parte immaginaria la somma delle parti immaginarie.

    Per rispondere dettagliatamente è opportuno procedere per casi.

    Somma di due numeri complessi in forma algebrica (forma cartesiana)

    La somma di due numeri complessi in forma cartesiana è ancora un numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali e per parte immaginare la somma delle parti immaginarie.

    In formule, detti

    \\ z_1=a_1+ i b_1\\ \\ z_2= a_2+ i b_2

    dove:

    a_1, a_2\in\mathbb{R} sono rispettivamente la parte reale di z_1, z_2;

    b_1, b_2\in\mathbb{R} sono rispettivamente la parte immaginaria di z_1, z_2.

    la somma tra i due numeri complessi è data da

    z_1+z_2= a_1+ i b_1+ a_2+ i b_2= (a_1+ a_2)+i(b_1+b_2).

    Esempio sulla somma tra numeri complessi in forma algebrica

    \\ z_1= 5i\ \ \ ;\ \ \ z_2= 1+ 2 i\\ \\ z_1+ z_2= 5i + 1+2i= 1+ (5+2)i= 1+ 7i

    Somma di due numeri complessi in forma trigonometrica

    Se i due numeri complessi sono espresssi in forma trigonometrica allora è conveniente esprimerli in forma cartesiana e in un secondo momento sommarli (in caso di dubbi: come passare dalla forma trigonometrica alla forma algebrica).

    Esiste in realtà una formula che permette di sommare due numeri complessi espressi in forma trigonometrica, ma è inutilmente complicata. Detti

    \\ z_1=\rho_1 (\cos(\theta_1)+ i \sin(\theta_1))\\ \\ z_2=\rho_2 (\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2))

    allora la somma tra i due numeri complessi è data da

    z_1+ z_2=(\rho_1 \cos(\theta_1)+ \rho_2\cos(\theta_2))+ i (\rho_1\sin(\theta_1)+ \rho_2\sin(\theta_2))

    Esempio sulla somma tra numeri complessi in forma trigonometrica

    \\ z_1= 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\\ \\ \\ z_2= \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+ i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)

    Passiamo dalla forma trigonometrica alla forma cartesiana, ricordando che:

    \\ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\\ \\ \\ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}

    Inoltre

    \\ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \\ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)= \frac{1}{2}

    Di conseguenza:

    \\ z_1= 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+ 2i\cdot \frac{1}{2}= \sqrt{3}+ i\\ \\ \\ z_2= \sqrt{2}\frac{1}{2}+ \sqrt{2} i \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{\sqrt{2}}{2}+ i\frac{\sqrt{6}}{2}

    Sommando i due numeri:

    z_1+ z_2= \sqrt{3}+i+ \frac{\sqrt{2}}{2}+ i\frac{\sqrt{6}}{2}=\left(\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+i\left(1+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)

    Somma tra due numeri espressi in forma esponenziale

    Nel caso della forma esponenziale il ragionamento non è molto diverso rispetto al caso precedente:

    \\ z_1= \rho_1 e^{i \theta_1}\\ \\ z_2= \rho_2 e^{i \theta_2}

    In tal caso possiamo passare dalla forma esponenziale alla forma trigonometrica

    \\ z_1=\rho_1 (\cos(\theta_1)+ i \sin(\theta_1))\\ \\ z_2=\rho_2 (\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2))

    e sommare come abbiamo visto nel primo caso.

    ***

    Per approfondire: operazioni tra numeri complessi.

    Risposta di Ifrit
 
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