Regola di Sarrus

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Come si usa la regola di Sarrus nel calcolo del determinante di una matrice? Potreste riportare il metodo di Sarrus, specificare per quali matrici si usa e mostrarmi qualche esempio di applicazione?

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • La regola di Sarrus consente di calcolare il determinante di una qualsiasi matrice quadrata di ordine 3 con una formula che si ricava ricorrendo a un semplicissimo stratagemma grafico.

    In buona sostanza, se A è una matrice con 3 righe e 3 colonne

    A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}

    per calcolare il determinante con la regola di Sarrus è sufficiente:

    1) riscrivere la matrice senza parentesi e accostare la stessa matrice sulla sua destra

    \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{matrix}

    2) sommare i prodotti degli elementi delle prime 3 diagonali principali che si incontrano procedendo da sinistra verso destra;

    3) sommare i prodotti degli elementi delle tre antidiagonali complete che si incontrano procedendo da destra verso sinistra;

    4) sottrarre, nell'ordine, i risultati ottenuti.

     

    Regola di Sarrus

    Regola di Sarrus per il calcolo del determinante di una matrice 3x3

     

    Importante: la regola di Sarrus non può essere estesa a matrici di ordine superiore. Vale solo e soltanto per le matrici quadrate di ordine 3.

    Esempio

    Applicando la regola di Sarrus calcoliamo il determinante della matrice

    A=\begin{pmatrix}1&0&3 \\ 0&-2&5 \\ 4&1&0\end{pmatrix}

    Svolgimento: riscriviamo due matrici l'una accanto all'altra e tracciamo le prime tre diagonali principali e le ultime tre antidiagonali

     

    Esempio regola di Sarrus

     

    Calcoliamo i prodotti degli elementi di ciascuna diagonale principale e sommiamoli tra loro

    [1 \cdot (-2) \cdot 0] + (0 \cdot 5 \cdot 4) + (3 \cdot 0 \cdot 1) = 0+0+0 = 0

    Facciamo la stessa cosa con le antidiagonali

    [3 \cdot (-2) \cdot 4] + (0 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot 5 \cdot 1) = -24+0+5 = -19

    Sottraendo, nell'ordine, i risultati ottenuti si ottiene il valore del determinante di A

    \mbox{det}(A)=0-(-19)=19

    Volendo, nulla ci vieta di svolgere i calcoli in un unico passaggio

    \\ \mbox{det}(A)=[1 \cdot (-2) \cdot 0] + (0 \cdot 5 \cdot 4) + (3 \cdot 0 \cdot 1) - \{[3 \cdot (-2) \cdot 4] + (0 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot 5 \cdot 1)\} = \\ \\ = (0+0+0) - (-24+0+5) = 0-(-19)=19

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, se non consigliarvi di dare un'occhiata alle seguenti pagine:

    - lezione sul determinante di una matrice, dove abbiamo riportato i vari metodi di calcolo e le proprietà;

    - scheda di esercizi sul determinante;

    - tool per il calcolo del determinante online.

    Risposta di Galois
 
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