Soluzioni
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    Secondo principio di equivalenza per le equazioni

    Il secondo principio di equivalenza per le equazioni stabilisce che moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per una quantità diversa da zero, e in modo da non alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

    A questo proposito è bene ricordare che due equazioni equivalenti sono equazioni con le stesse soluzioni.

    Esempi

    Il secondo principio di equivalenza è fondamentale nella risoluzione delle equazioni, perché ci permette di semplificare le espressioni algebriche fino ad individuare le soluzioni. Il secondo principio garantisce infatti che, se applichiamo le operazioni consentite, ad ogni passaggio otteniamo un'equazione diversa che però ammette le stesse identiche soluzioni rispetto a quella iniziale.

    Anche senza rendercene conto, lo utilizziamo in tantissime occasioni. Ad esempio:

    - quando "cambiamo il segno" a tutti gli elementi di un'equazione, non stiamo facendo altro se non moltipilicare ambo i membri per -1;

    - quando dividiamo entrambi i membri per uno stesso numero per semplificare i calcoli;

    - dopo aver calcolato il minimo comune multiplo in entrambi i membri e dopo aver imposto le eventuali le condizioni di esistenza, è proprio grazie al secondo principio che possiamo "eliminare i denominatori", infatti come mostrato nel seguente esempio non stiamo facendo altro se non moltiplicare ambo i membri per una stessa quantità non nulla:

    \not{2} \cdot \frac{5x-7}{\not{2}}=\frac{12x+3}{\not{2}} \cdot \not{2}

    Lo stesso argomento nel dettaglio: principi di equivalenza per le equazioni.

    Secondo principio di equivalenza per le disequazioni

    Il secondo principio di equivalenza delle disequazioni è leggermente più delicato. Esso stabilisce che moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disequazione:

    - per un numero positivo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data

    - per un numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente alla prima a patto di cambiarne il verso.

    Esempi

    -x^2-3x+5>0

    è equivalente alla disequazione che otteniamo moltiplicando entrambi i membri per -1 e invertendo il verso della disequazione

    x^2+3x-5<0

    Un ulteriore esempio:

    2x^2-4x+8 \le 0

    ha le stesse soluzioni della disequazione ottenuta dividendo entrambi i membri per 2

    x^2-2x+4 \le 0

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    Nel caso ve lo foste perso: primo principio di equivalenza - click!

    Risposta di Galois
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