Soluzioni
  • L'equazione di una retta in forma implicita è ax+by+c=0. In altri termini l'equazione in forma implicita di una retta è un'equazione in cui il membro di destra è zero, mentre il membro di sinistra è un polinomio di primo grado nelle incognite x e y.

    \mbox{Retta in forma implicita} \ \to \ ax+by+c=0

    Esempi di rette in forma implicita

    \bullet \ x+2y-1=0

    è un esempio di retta scritta in forma implicita. Osserviamo infatti che si presenta nella forma

    ax+by+c=0 \\ \\ \mbox{con }a=1, \ b=2, \ c=-1

    \bullet \ x+3y=0

    è un altro esempio di retta in forma implicita, i cui coefficienti sono a=1, \ b=3, \ c=0.

    \bullet \ x-1=0

    è anch'essa l'equazione in forma implicita di una retta, con a=1, \ b=0, \ c=-1.

    Posizioni di una retta in forma implicita al variare dei coefficienti

    La forma implicita di una retta permette di rappresentare qualsiasi retta del piano cartesiano.

    Vediamo come cambia la posizione del grafico di una retta in forma implicita rispetto agli assi cartesiani al variare dei coefficienti a,b,c.

    • Se i tre coefficienti sono non nulli, ossia se a \neq 0, \ b \neq 0, \ c \neq 0, allora ax+by+c=0 è l'equazione di una retta non passante per l'origine e non parallela ad alcuno degli assi cartesiani.

     

    Retta in forma implicita ax+by+c=0

    Retta in forma implicita del tipo ax+by+c=0 con a≠0, b≠0, c≠0.

     

    • Se a,b sono diversi da zero e se il termine noto è nullo (c=0), l'equazione assume la forma ax+by=0 e rappresenta una retta passante per l'origine e diversa da ciascuno degli assi cartesiani.

     

    Retta in forma implicita ax+by=0

    Retta in forma implicita del tipo ax+by=0 con a≠0, b≠0.

     

    • Se a=0 e se b \neq 0, si ottiene l'equazione by+c=0, che descrive una retta parallela all'asse delle ascisse. Nel caso particolare in cui anche c=0 si ottiene proprio l'equazione dell'asse x (y=0).

     

    Retta in forma implicita by+c=0

    Retta in forma implicita del tipo by+c=0 con b≠0, c≠0.

     

    • Se a\neq 0 e se b=0, si ricava l'equazione ax+c=0, che rappresenta una retta parallela all'asse delle ordinate. Nel caso particolare in cui anche c=0 si ottiene proprio l'equazione dell'asse y (x=0).

     

    Retta in forma implicita ax+c=0

    Retta in forma implicita del tipo ax+c=0 con a≠0, c≠0.

     

    Eccoti, per completezza, una tabella di riepilogo.

     

    Valori dei coefficienti a,b,c

    Equazione in forma implicita

    Descrizione della retta

    a≠0 ; b≠0 ; c≠0

    ax+by+c=0

    Retta non passante per l'origine e non parallela ad alcuno degli assi cartesiani

    a≠0 ; b≠0 ; c=0

    ax+by=0

    Retta passante per l'origine e non coincidente con alcuno degli assi cartesiani

    a=0 ; b≠0 ; c≠0

    by+c=0

    Retta parallela all'asse x

    a=0 ; b≠0 ; c=0

    by=0 → y=0

    Coincide con l'asse x

    a≠0 ; b=0 ; c≠0

    ax+c=0

    Retta parallela all'asse y

    a≠0 ; b=0 ; c=0

    ax=0 → x=0

    Coincide con l'asse y

     

    Coefficiente angolare e ordinata all'origine di una retta in forma implicita

    - Il coefficiente angolare di una retta in forma implicita è uguale all'opposto del rapporto tra il coefficiente della x e il coefficiente della y, se il coefficiente della y è diverso da zero; non è definito se il coefficiente della y è uguale a zero.

    - L'ordinata all'origine di una retta in forma implicita è uguale all'opposto del rapporto tra il termine noto e il coefficiente della y, se il coefficiente della y è diverso da zero; non è definito se il coefficiente della y è uguale a zero.

    Per intenderci consideriamo una retta in forma implicita:

    ax+by+c=0

    • Se b \neq 0 il coefficiente angolare (o pendenza della retta) è m=-\frac{a}{b}, mentre l'ordinata all'origine (o intercetta) è q=-\frac{c}{b}.

    • Se b=0 il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine non sono definiti.

    Esempi sul calcolo del coefficiente angolare e dell'ordinata all'origine di una retta in forma implicita

    1) 4x+2y-1=0

    è una retta in forma implicita con a=4, \ b=2, \ c=-1.

    Poiché è b \neq 0 sia il coefficiente angolare sia l'ordinata all'origine sono ben definiti, e valgono:

    \\ m=-\frac{a}{b}=-\frac{4}{2}=-2 \\ \\ q=-\frac{c}{b}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}

    2) y+3=0

    è l'equazione di una retta in forma implicita con a=0, \ b=1, \ c=3.

    Il coefficiente della y è non nullo, dunque possiamo calcolare il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine.

    La pendenza è pari a zero:

    m=-\frac{a}{b}=-\frac{0}{1}=0

    L'intercetta è uguale a -3:

    q=-\frac{c}{b}=-\frac{3}{1}=-3

    3) 5x+7=0

    è una retta in forma implicita con il coefficiente della y uguale a zero (b=0), per cui non sono definite né la pendenza né l'intercetta.

    ***

    Per chiudere ti consigliamo di dare un'occhiata al formulario sulla retta e alla lezione sulle possibili forme dell'equazione di una retta. Ti segnaliamo anche i seguenti approfondimenti:

    - retta in forma esplicita;

    - dalla forma implicita alla forma esplicita di una retta;

    - dalla forma esplicita alla forma implicita di una retta;

    - come si disegna una retta nel piano cartesiano.

    Risposta di Galois
 
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