Soluzioni
  • Per calcolare la potenza del prodotto di due o più numeri si può applicare una nota proprietà delle potenze, secondo cui la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori, elevati all'esponente di partenza.

    La regola potrebbe sembrare contorta a parole, ma in una formula è decisamente più chiara:

    (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n

    Ovviamente nulla ci vieta di evitare di usare la suddetta proprietà, e di procedere al calcolo del prodotto per poi elevarlo all'esponente. In certi casi però la regola della potenza di un prodotto può risparmiarci calcoli inutili.

    Dimostrazione

    Sfruttiamo la definizione di potenza e la proprietà commutativa

    (a\cdot b)^n=\overbrace{(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot ...\cdot (a\cdot b)}^{n\mbox{ volte}}=\\ \\ =\overbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}^{n\mbox{ volte}}\cdot \overbrace{b\cdot b\cdot ...\cdot b}^{n\mbox{ volte}}=a^n\cdot b^n

    Esempi sulla potenza di un prodotto

    1) Calcoliamo il quadrato del prodotto tra 2 e 3:

    (2\cdot 3)^2

    Qui non c'è una gran differenza tra il calcolo diretto

    (2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36

    e l'utilizzo della proprietà

    (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36

    2) La regola si rivela particolarmente utile in presenza di espressioni letterali, senza di essa infatti rimarremmo bloccati in tantissimi calcoli letterali. Consideriamo ad esempio

    (a^2bc)^3

    che possiamo esprimere nella forma

    (a^2bc)^3=(a^2)^3 \cdot b^3 \cdot c^3 = a^6b^3c^3

    Un ulteriore esempio:

    (2xy^2)^4=2^4 \cdot x^4 \cdot (y^2)^4=16x^4y^8

    ***

    Per concludere osserviamo che la regola per la potenza del prodotto è l'inverso della proprietà per il prodotto di potenze con lo stesso esponente.

    Quest'ultima stabilisce infatti che il prodotto di potenze con uguale esponente coincide con la potenza avente come base il prodotto delle basi e come esponente l'esponente di partenza. Se ci fate caso, per ottenere questa formula basta leggere quella che abbiamo scritto inizialmente al contrario:

    (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\ \ \longleftrightarrow\ \ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n

    ***

    Per concludere in bellezza consigliamo di leggere la lezione sulle proprietà delle potenze, in cui spieghiamo nel dettaglio tutte le regole e mostriamo come applicarle negli esempi e negli esercizi, e di usare all'occorrenza il tool per risolvere le potenze online.

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Medie-Algebra e Aritmetica